Exercies

[Ranio]

Bonjour à tous j'aimerais avoir besoin d'aide sur ce travail (pistes )(en pieces jointes) c'est nouveau et je ne comprend pas très bien merci 

[Barbidoux]

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Exercice 1
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f’(x)=0 ==> donne la valeur   b=0
Rechercher la valeur de l’entier a tels que 3.5<a/exp(1)<4.5 ==> a=10
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Exercice 2
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1a——————
f’(x) =simple derivation de 1-u/v
1b——————
tableau de signe ==> f’(x)>0 pour tout x >0
2a——————
on remplace x par -x dans l’expression de f(x) ==> f(x-) =f(-x)
2b——————
fonction paire graphe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
3a——————
f(x)=1-4*exp(x)/(exp(2*x)+1)=(exp(2*x)-4*exp(x)+1)/(exp(2*x)+1)=N(x)/D(x)
Le dénominateur de la fonction D(x) étant >0 les valeurs de x telles que f(x)=0 sont les valeurs qui annulent son numérateur
si l’on pose exp(x)= X>0  ==> X^2-4*x+1=0 ==> X=2-√3+ et X=2+√3.

Ce trinôme étant du signe du coefficient de x^2 à l’extérieur de ses racines on en déduit que c=2+√3=3.7320=exp(a) et par dichotomie la valeur 1.316<a<1.317

 

[C8H10N4O2]

Le 16/10/2019 à 16:02, Barbidoux a dit :

 

Ce trinôme étant du signe du coefficient de x^2 à l’extérieur de ses racines on en déduit que c=2+√3=3.7320=exp(a) et par dichotomie la valeur 1.316<a<1.317

 

Que signifie "par dichotomie " ? 

[julesx]

Tu aurais pu chercher sur la toile ! Tu aurais trouvé, par exemple,

[Barbidoux]

on peut la programmer

ou utiliser un tableur

[Ranio]

Je ne comprend pas très bien…..la dichotomie

Surtout la 2 a et la suite des questions si vous pourriez m'expliquer clairement je vous remercie

[julesx]

Oublie la dichotomie. L'énoncé te dit d'utiliser la table de ta calculatrice. Tu cherches a tel que e^a= 2+√3 sachant que a est compris entre 1 et 2 (cf. courbe donnée dans l'énoncé) et qu'on cherche une valeur à 10^-2 près.

Il ne reste plus qu'à configurer la calculette et à dérouler la table jusqu'à obtenir l'encadrement souhaité.

[Barbidoux]

2a——————
on remplace x par -x dans l’expression de f(x)

f(x)=1-4*exp(x)/(exp(2*x)+1)

f(-x)=1-4*exp(-x)/(exp(-2*x)+1)=1-4*exp(-x)*exp(2*x)/((exp(-2*x)+1)exp(2*x))=1-4*exp(-x)/(exp(-2*x)+1)=f(x)

==> f(x) =f(-x)
2b——————
fonction paire graphe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (voir   cours)
3a——————
f(x)=1-4*exp(x)/(exp(2*x)+1)=(exp(2*x)-4*exp(x)+1)/(exp(2*x)+1)=N(x)/D(x)
Le dénominateur (exp(2*x)+1) de la fonction D(x) étant >0 les valeurs de x telles que f(x)=0 sont les valeurs qui annulent son numérateur
si l’on pose exp(x)= X>0  ==> X^2-4*x+1=0 ==> X=2-√3+ et X=2+√3.

Ce trinôme étant du signe du coefficient de x^2 à l’extérieur de ses racines (voir   cours) on en déduit que c=2+√3=3.7320=exp(a) et par dichotomie la valeur 1.316<a<1.317

[C8H10N4O2]

Bonsoir à tous,

n'y a-t-il pas une petite erreur ici :

l'intervalle [a_n,b_n] n'est-il pas plutôt de longueur (b₀ - a₀)/2ⁿ  ?

[julesx]

il y a 31 minutes, C8H10N4O2 a dit :

Bonsoir à tous,

n'y a-t-il pas une petite erreur ici :

l'intervalle [a_n,b_n] n'est-il pas plutôt de longueur (b₀ - a₀)/2ⁿ  ?

Effectivement, désolé, je me suis contenté de recopier le texte sans le vérifier.

[Ranio]

Bonjour j'ai une question : vous avez écrit : "Ce trinôme étant du signe du coefficient de x^2 à l’extérieur de ses racines on en déduit que c=2+√3=3.7320=exp(a) et par dichotomie la valeur 1.316<a<1.317" mais comment savoir les résultats qui nous ont été utiles pour faire ce calcul ?

 

 

Et pour la question 3b) a vaut =2-√3+ et  c vaut X=2+√3. ou c'est l'inverse ? 

 

Merci

[Barbidoux]

f(x) se met sous la forme :
f(x)=(exp(2*x)-4*exp(x)+1)/(exp(2*x+1)
Si l’on effectue un changement de variable X=exp(x), cette fonction s’écrit alors
f(X)=(X^2-4*X-1)/(X^2+1)
Le dénominateur de f(X) étant >0 elle est du signe de son numérateur qui est un polynôme du second degré du signe de X^2 à l’extérieur des ses racines qui sont 2-√3 et 2+√3. Cela veut dire que pour la valeur 2-√3  , la fonction f(X) (comme la fonction f(x))  passe de valeurs positives aux valeurs négatives et passe de valeurs négatives aux valeurs positives pour la valeur 2+√3. On en déduit que 2+√3=exp(a) correspond à l’abscisse de a du point A et que la racine 2-√3  correspond à l’abscisse du point B qui vaut -a d’où ce qui fait que  2-√3 = exp(-a).

Si tu avais vu la fonction réciproque de  exp(x)  qui est ln(x) tu aurais pu écrire que ln(c)=a et donner la valeur exacte de a soit a=ln(2+√3) mais comme ce n’est pas le cas il te faut obtenir une valeur approchée de a. Tu sais que 2+√3=exp(a)  alors tu peux calculer la valeur de la fonction f(a)=2+√3-exp(a) en prenant pour valeur 2*√3± 0.005 (valeur approché de c à 10^(-2) près soit 3.732) de telle sorte pour a+0.005 la valeur de f(a)=3.732-exo(a) soit positive et négative pour a-0.005 ce qui donne :

[Ranio]

Je ne dois donc pas préciser  par dichotomie , (ou pas ?) et pour la question 4 c'est donc inclus ?

[Barbidoux]

La dichotomie est la méthode numérique la plus simple pour résoudre ce genre de problème (table  de valeurs calculées de la fonction  )  mais il y en a bien d'autres ....

[Ranio]

D'accord et pour la question 4 je me suis un peu embrouillé son signe est du Coeff directeur à quel moment ?

[anylor]

bonjour

pour 4)

il faut que tu déduises le signe de f

à partir de la valeur des racines de l'équation f(x) = 0

 les racines sont x1= -1,317  et x2 = 1,317

le signe de a  -> positif

donc f est de signe + à l'extérieur des racines

et de signe - à l'intérieur des racines

[Ranio]

D'accord; merci et j'ai d'autres questions (je me suis trompé plusieurs fois) : 1) pour l'exercie 1 question 2, comment on résout l'inéquation pour trouver a=10

2) et dans l'exercie 2 la 3) b c'est la ou je bloque le plus, merci

[C8H10N4O2]

Exo 1 question 2 :

"On veut que le haut de la piste soit entre 3,5 et 4m" signifie graphiquement qu'on veut que l'image du point d'abscisse x=1 soit comprise entre 3,5 et 4. Algébriquement cela signifie qu'on cherche à résoudre :    . 

D'après la question 1, b=0 donc la fonction f s'exprime par :   donc 

Dès lors :   . Calcule (7/2)e et 8e avec ta calculatrice et tu arriveras à la conclusion qu'étant donné que a est un entier, 10 est la

seule valeur qu'il peut prendre.

 

[Ranio]

D'accord et pour trouver b je fais f(x)=0 ?

[anylor]

Il y a 3 heures, Ranio a dit :

D'accord et pour trouver b je fais f(x)=0 ?

non pour trouver b, tu dois faire f '(x) = 0 

car théorème :

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a est le nombre dérivé f'(a)

(Vois sur ton cours ou ton livre )

Ici  le coef. direct. de la tangente = 0       ( car tangente horizontale)

f'(x) =(-ax+a-b)* e(-x)

f'(1) = -b*e^(-1)

donc f'(1) =0          =>   -b  * e(-1) = 0

comme e^(-1)  est différent de 0 , alors tu as -b = 0 et  donc b =0

[Ranio]

D'accors et autre question pour la 2 a de l'exercice c'est f(x) que je dérive ou f'(x) ? merci

[anylor]

pour 2) a

tu n'as rien à dériver, juste à calculer f(-x) et comparer avec f(x)

[Ranio]

Non pardon c'est la 1 b, je dois faire un tableau ?

Et dernière question : l'exercie 2 la 3) b c'est la ou je bloque le plus, merci

[anylor]

Le 25/10/2019 à 21:36, Ranio a dit :

Non pardon c'est la 1 b, je dois faire un tableau ?

Et dernière question : l'exercie 2 la 3) b c'est la ou je bloque le plus, merci

 

pour la 1b)

tu peux faire un tableau si tu veux

tu étudies le signe de la dérivée f'(x)

son dénominateur toujours positif

4e(x)   toujours positif

le signe de f'(x) dépend de (e ^2x  -1)

(e ^2x  -1) ≥  0  si x ≥ 0

donc tu as bien la dérivée qui est positive sur [ 0;+oo[

et par conséquent la fonction est croissante sur cet intervalle 

voilà tu as démontré la conjecture..

 

pour 3 b)

x²-4x+1 =0 

Δ= b²-4ac = 12
c1 = (-b-√Δ) /2a =2-√3    =  0,27   à 10^-2 près

c2 = (-b+√Δ) /2a =2+√3  =  3,73   à 10^-2 près

 

tu sais que c = e ^a

donc 

3,73  = e ^a

ensuite si tu as du mal à comprendre,  fais une lecture sur ta calculatrice .

tu vas dans l'éditeur de fonctions   et tu rentres e(x)         

tu vas dans table des valeurs   

tu définis la tabulation à 0.01  

3, 73 ( c'est à dire c) correspond à f(x)

et tu lis la valeur qui est dans la colonne des x

c'est la valeur de a