Exeric tableur

[Ranio]

Bonjour alors voilà j'ai un exercice à faire, par contre il y a une petite précision dans la Partie C, question 2 : c'est n/2^n compris entre 0 (strictement supérieure) et 1/n (inférieur ou EGALE = voici la précision , je sais pas si ça modifie que ce soit inférieure, ou inférieur et égale mais bon)

 

Merci

[Ranio]

J'ai fait ça pour l'instant, est-ce jste ? : 

1; Pour calculer un terme de la suite (un), il est nécessaire de connaître le terme précédent (colonne B) et la valeur de son rang (colonne A). Dans la cellule B3 est affiché le terme u1 qui est égal à 2u0−0+3. Le terme u0 est stocké dans la cellule B2 et le rang 0 est stocké dans la cellule A2. Par suite, on peut saisir dans la cellule B3 la formule « =2*B2-A2+3 ».

Pour calculer un terme de la suite (vn), il est nécessaire uniquement de connaître son rang (colonne A). Dans la cellule C3 est affiché le terme v1 qui est égal à 21. Le rang 1 est stocké dans la cellule A3. Par suite, on peut saisir dans la cellule C3 la formule « =2^A3 ».

[Barbidoux]

Partie B

————————————

1———————

vrai à l’ordre 0

Supposée vraie à l’ordre n ==> u_n=3*2n+n-2

à l’ordre n+1 ==> u_n+1=2*u_n-n+3=2*(3*2ⁿ+n-2)=3*2ⁿ⁺¹+2n-4-n+3=3*2ⁿ⁺¹+n-1=3*2ⁿ⁺¹+(n+1)-1

La relation est vérifiée à l’ordre n+1. Elle est donc héréditaire et valide quelque soit n

2———————

Lorsque n->∞ alors un-> ∞

3———————

u₁₈=786448

u₁₉=1572881

————————————

 Partie c

————————————

1———————

u_n/v_n=3+(n-2)/2^ⁿ

u_n+1/v_n+1=3+(n-1)/2ⁿ⁺¹

u_n+1/v_n+1-u_n/v_n=(n-1)/3ⁿ⁺¹-(n-2)/2ⁿ=(1/2ⁿ)*((n-1)/2-(n-2))=(1/2ⁿ)*((3-n)/2)≤0 pour toute valeur de n>3 donc u_n/v_n est décroissante à partir du rang 3

2———————

u_n/v_n=3+(n-2)/2ⁿ

lorsque n-> ∞ alors n>>2 

lim un=lim 3+1/2^n-1=3

 

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous ,

Quelqu'un saurait-il proposer une méthode pour trouver directement la réponse n=19 à la question 3 de la partie B ? J'avoue caler un peu...

[pzorba75]

Pour obtenir la réponse directe, tu peux écrire un programme sur une calculatrice qui par une boucle while donnera le rang cherché.

[julesx]

Autre possibilité, postuler que n-2 reste petit devant 10⁶, donc raisonner sur l'inégalité approchée 3*2ⁿ>=10⁶, ce qui donne n>=ln(10⁶/3)/ln(2), soit n>=18,3....

Avec cette valeur, soit n=19, n-2 est bien négligeable devant 10⁶.

[C8H10N4O2]

il y a une heure, pzorba75 a dit :

Pour obtenir la réponse directe, tu peux écrire un programme sur une calculatrice qui par une boucle while donnera le rang cherché.

ouh là écrire un programme et moi ça fait deux ! 

Je pensais à une manière calculatoire .

Pour la question 2 de la partie C :je ne comprends pas bien : 

Je suppose qu'il y a une faute de frappe et que Barbidoux a voulu dire " lorsque n--> , alors n>>4 " Et lim un=lim3 -1/2^n-1=3

Mais ensuite comment montre-t-on  ? En posant :   ?

Pour ma part j'étais parti de  , pour ensuite dire : 

il y a 46 minutes, julesx a dit :

Autre possibilité, postuler que n-2 reste petit devant 10⁶, donc raisonner sur l'inégalité approchée 3*2ⁿ>=10⁶, ce qui donne n>=ln(10⁶/3)/ln(2), soit n>=18,3....

Avec cette valeur, soit n=19, n-2 est bien négligeable devant 10⁶.

Astucieux

Modifié le 4 octobre 2019 par C8H10N4O2

[julesx]

Juste pour info :

Programme en Python

n=1
u=2**n+n-2
while u<1000000:
   n=n+1
   u=3*2**n+n-2
print(n)

[Barbidoux]

Il y a 3 heures, C8H10N4O2 a dit :

Pour la question 2 de la partie C :je ne comprends pas bien : 

Je suppose qu'il y a une faute de frappe

Non, prépondérance des termes. Lorsque n>∞ alors  n>>2

lim u_n=lim (3+(n-2)2^n)=lim (3+n/2^n)= lim 3+1/2^(n-1)

Sachant que 1/2^n -> 1/∞=0   lorsque n>∞ (2^n est une suite géométrique de raison >1 qui tend vers ∞ lorsque n-> ∞)  on en déduit que lim un= lim 3+1/2^(n-1)=3+0^+=3