Bonjour,
Moi, je pense qu'il faut distinguer deux démarches :
* La factorisation du trinôme ax²+bx+c.
La théorie montre qu'il peut se mettre sous la forme a(x+x1)(x+x2) si le discriminant b²-4ac est positif.
Les expressions de x1 et de x2 s'obtiennent en résolvant une équation du second degré. On retrouve la démarche ci-dessous, mais sans avoir à vérifier que les expressions obtenues sont compatibles avec ce que signifie x.
* la recherche des solutions de l'équation du second degré ax²+bx+c=0.
Si on a effectué la factorisation, ceci conduit à annuler les deux monômes en vérifiant, si nécessaire, que les expressions obtenues sont compatibles avec la définition de la variable x.
Donc, pour moi, ta demande s'applique au premier cas, en passant, petite erreur de transcription, c'est 2X2 - X - 1 = 2(X + 1/2)(X - 1). Comme tu ne recherches pas à résoudre l'équation, uniquement à trouver la factorisation, il n'y a pas incompatibilité avec les expressions trouvées
A noter qu'une autre démarche possible serait la suivante :
e2x - ex - 1 = e2x - ex + e2x - 1 = ex(ex - 1) + (ex - 1)(ex +1) = (ex - 1)(2e2x + 1)
Mais ce que j'en dis...