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Trigo pour tous


PAVE
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  • E-Bahut

Bonjour,

Un élève de Première (ou Terminale ?) a déposé sur ma messagerie privée le sujet suivant avec pour questionnement :

"Je ne comprends pas comment on fait pour placer les réels des questions 2 et 4. Pouvez-vous m'expliquer svp ?"

A noter par ailleurs qu'il a joint à cette demande, ses réponses écrites aux autres questions... ce qui est fort bien 😀 !

20220110_210428.thumb.jpg.19f231691e3247e0da3619ce3014e6c9.jpg

Il a par ailleurs tracé avec plus ou moins (plutôt moins 😟) de réussite  et de précision, des cercles trigonométriques pour conforter ses réponses, ce qui est là encore fort bien.

Je me propose d'expliquer comment tracer un "beau" cercle trigonométrique et y placer rigoureusement les valeurs "classiques" (:pi:/6 ; :pi:/4; :pi:/3) dans le premier quadrant. Il faut hélas pour cela disposer comme à l'école primaire d'un COMPAS... en état de marche !!

Mais commençons par répondre au souci de notre élève

                Pour :pi:/8, on remarquera que :pi:/8 est la moitié de :pi:/4....

                Pour :pi:/5, c'est plus compliqué... le temps étant en général compté, on bricole entre :pi:/4 et :pi:/5 (😒) ou on sort vite fait son rapporteur...
                ("c'est quoi ce truc ?")

A suivre

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  • E-Bahut

Pour construire rapidement un cercle trigonométrique de qualité, il suffit de disposer d'une feuille (de préférence quadrillée avec des petits carreaux, cela facilite la...vie !) et d'un compas.

1) tracer les 2 axes et noter O le point d'intersection.

2) choisir une unité de longueur OA sur l'axe des abscisses (futur "cosinus) (prendre si possible un nombre pair de petits carreaux ce qui permettra d'obtenir facilement le milieu du segment [OA]...)

3) tracer le cercle de centre O et de rayon OA.

image.png.7fd8f6a9fca6c152839d30456c912e29.png

4) placer les points A', B, B' et déterminer les milieux des segments [OA] et [OB] (c'est immédiat si le nbre de petits carreaux est pair).

5) tracer les droites perpendiculaires aux axes à partir des milieux des segments [OA] et [OB]qui coupent le cercle en 2 points du 1er quadrant, lesquels sont les images des nombres :pi:/6 et :pi:/3

image.png.4062a9f745d89a2bbd699cfa9f0a5f71.png

 

6) pour avoir l'image de :pi:/4, le tracé de la bissectrice est immédiat....

image.png.ab7d5cebb8c0f27e4edf84aa374641a3.png

7) A partir des points obtenus sur le premier quadrant, on peut facilement compléter le cercle trigonométrique.... et faire figurer les "valeurs particulières classiques" dont on a besoin.

NB : la figure est plus rapide à faire qu'à décrire....

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  • E-Bahut

Bonjour,

OK pour ce tracé, mais pour répondre au questionnement de l'élève, ne vaudrait-il pas mieux de faire une figure dans le cas général d'un angle quelconque, de façon à mettre en évidence les relations :
sin(-x)=-sin(x)
cos(-x)=cos(x)
sin(
π-x)=sin(x)
cos(π-x)=-cos(x)
sin(π+x)=sin(-π+x)=-sin(x)
cos(π+x)=cos(-π+x)=-cos(x)

Ça résoudrait en passant le problème des angles π/5 et 3π/8.

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Tout d'abord merci pour cet effort. J'ai bien lu. Maintenant, je veux bien savoir comment on réduit les réels des questions 2 et 3 pour qu'on puisse les placer sur le cercle.

Il y a 4 heures, PAVE a dit :

Pour :pi:/8, on remarquera que :pi:/8 est la moitié de :pi:/4....

                Pour :pi:/5, c'est plus compliqué... le temps étant en général compté, on bricole entre :pi:/4 et :pi:/5 (😒) ou on sort vite fait son rapporteur...
                ("c'est quoi ce truc ?")

Mon souci.

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  • E-Bahut

Si on ne connait pas la notion de mesure principale d'un angle, on peut essayer de positionner les réels sur le cercle trigonométrique...

image.png.093760fd1a348801889ee27a96091ddc.png

Avec des multiples de :pi:/8, cela est faisable. Tu "sautes" de :pi:/8 en /:pi:8,
------> 3 fois dans le sens positif pour atteindre  3*:pi:/8
------> 3 fois dans le sens négatif pour atteindre  - 3*:pi:/8.

image.png.54845cd3cc8c51d9d4c6f4464f47e22d.png

et graphiquement les réponses sont accessibles... mais est-ce suffisant pour le prof ?

Plus expéditif (et plus satisfaisant !) les 2 nombres 3*:pi:/8 et  - 3*:pi:/8 sont 2 nombres réels opposés donc

      leurs cosinus sont ....

      et leurs sinus sont ....

confère les 2 premières formules de Jules

       sin(-x)=-sin(x)
       cos(-x)=cos(x)

qu'un petit schéma (général) permet de retrouver... vite fait 🙂.

image.png.d6b4bd2bd3741791e9fb6587b10e7ae7.png

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  • E-Bahut

Pour les multiples de :pi:/5, il est plus difficile de "graduer" le cercle mais, si on s'y frotte un peu, on comprend (vite ?) qu'en "parcourant" 5 fois :pi:/5, on aboutit à l'image de... :pi: !

image.png.a601f7e7c9c41d693a0595b38f819628.png

6*:pi:/5 peut s'écrire 5*:pi:/5 +:pi:/5 soit  6*:pi:/5 = :pi:+:pi:/5

donc on a 2 nombres de la forme x et  :pi: +x.....

Petit schéma général pour x et :pi:+x ou formules de Jules....

 

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  • E-Bahut
il y a 16 minutes, pzorba75 a dit :

Quel Jules? 

César bien sûr 😄.

Le notre est classé X mais il n'en est pas moins glorieux (voir le troisième message, il y a 6 heures).

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  • E-Bahut

Pour info, moi, j'ai regardé par curiosité car je ne connaissais pas cette construction. Il y une petite erreur, on a bien OE=AC/4 mais pas OE=AD (ni, bien sur, AD=AC/4). En fait, le D ne sert à rien.

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il y a 12 minutes, julesx a dit :

Pour info, moi, j'ai regardé par curiosité car je ne connaissais pas cette construction. Il y une petite erreur, on a bien OE=AC/4 mais pas OE=AD (ni, bien sur, AD=AC/4). En fait, le D ne sert à rien.

Bien sûr que si, mais tu n'as pas compris ma construction.

D n'est pas sur le cercle, même si il en est très proche.

*********

Quand on a construit AC (qui vaut (1 + V5).R)

On divise cette longueur par 4 au compas et on obtient la longueur AD (qui vaut R * (1 + V5)/4) (D n'est pas sur le cercle mais en est très proche)

On mesure au compas la longueur AD et on la reporte sur l'axe horizontal à partir de O ... on a donc AD = OE = R * (1 + V5)/4

En "relevant" le point E sur le cercle, on obtient le point F et l'angle AOF vaut Pi/5 car son cosinus vaut OE/R soit (1 + V5)/4

er comme cos(Pi/5) = (1 + V5)/4 ... 

 

 

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  • E-Bahut

Merci à vous deux pour ces échanges. Comme Jules, je n'avais jamais encore rencontré cette construction. Curieux de nature mais un peu flemmard aussi (de nature ?), remettant à plus tard une démonstration, je me suis contenté hier soir de faire la construction avec GEOGBRA. Déception, l'angle obtenu ne mesurait pas 36 ° !!!!

Comme Jules, j'avais fait confiance à mes yeux et placé le point D sur le cercle. Erreur fatale....

Rassurez vous, ce cuisant échec  ne m'a pas empêché de bien dormir 😁.

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il y a 20 minutes, PAVE a dit :

GEOGEBRA bis 🙂

 et Zoom zoom Zoom 

 

il y a 20 minutes, PAVE a dit :

GEOGEBRA bis 🙂

image.png.a2d900f7b720ccb950a74abc08806480.png et Zoom zoom Zoom image.png.791d01f42198f9b6847fe6d734514c91.png

Bonjour,

 

Voila, c'est évidemment mieux dessiné que sur mon dessin fait en mesurant sur l'écran de mon ordi sans logiciel particulier.

 

Modifié par Black Jack
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  • E-Bahut

En fait, il suffisait de préciser que D appartient à la droite AC et pas au cercle, ou la façon de déterminer ce point (compas), ce qui levait toute ambiguïté. Je sais bien qu'on aurait pu faire une recherche sur la toile, mais, d'un autre côté, quand on poste une démarche, autant faciliter les choses pour le lecteur.

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Il y a 13 heures, julesx a dit :

En fait, il suffisait de préciser que D appartient à la droite AC et pas au cercle, ou la façon de déterminer ce point (compas), ce qui levait toute ambiguïté. Je sais bien qu'on aurait pu faire une recherche sur la toile, mais, d'un autre côté, quand on poste une démarche, autant faciliter les choses pour le lecteur.

"Je sais bien qu'on aurait pu faire une recherche sur la toile,"

Peut-être ou peut-être pas.

J'ai imaginé cette méthode, sans l'avoir vue nulle part, à partir de la valeur exacte du cosinus.

Il est probable que d'autres l'avaient fait avant ... mais je n'en sais rien.

 

 

 

 

Il y a 13 heures, pzorba75 a dit :

"Ne pas faciliter les choses" : c'est le côté "fun". 

N'importe quoi.

 

 

Modifié par Black Jack
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