Exercices 1 et 3 : ton prof ne vous fait-il pas déterminer les limites à l'infini ?
Exercice 2 :
P(0) Au rang n= 0, la propriété s'écrit g(0)(x) = (-1)0 (x-0)e-x
= 1*x*e-x
=xe-x =g(x) = fonction NON dérivée donc P(0) est vraie.
Je me suis contenté de mettre en forme ce que tu avais écrit.
NB : Pour mieux contrôler, le processus, on peut, je pense, initialiser au rang 1.
Si g(x) = xe-x, on calcule sa dérivée première.... et on trouve g'(x) = g(1)(x) =..... moi j'ai trouvé 😇.
On vérifie que la propriété au rang 1, donne le même résultat que le calcul ci dessus :
P(1) donne g(1)(x) = (-1)1(x-1)e-x = -(x-1)e-x =>la proposition P(n) est donc VRAIE au rang 1
3) HEREDITE
Pour montrer que la propriété est vraie pour tout entier n supérieur à 1, on SUPPOSE que la propriété, VRAIE pour n= 1 (et aussi n=2, n=3...), est VRAIE pour une valeur k de n supérieure à 1 : on suppose donc que pour une valeur k de n supérieure à 1, P(k) est VRAIE soit g(k)(x) = (-1)k(x-k)e-x.
Il faut alors démontrer que si P(k) est vraie, alors P(k+1) est vraie.
Sachant que g(k)(x) = (-1)k(x-k)e-x, on doit dériver g(k)(x) pour obtenir g(k+1)(x).
g(k+1)(x) = [g(k)(x)]' = [(-1)k(x-k)e-x]' [NB : l'expression à dériver est de la forme Cuv avec le facteur constant C = (-1)k, le 2ème facteur étant u(x) = (x-k) et le 3ème v(x)=e-x]
Je te laisse faire ce calcul (va doucement et écrit bien ☹️)
puis conclure.