Exponentielle

[Ranio]

Bonjour à tous  j'ai un exercice à faire mais on vient de commencer à peine le chapitre sur les limites de fonctions, et dérivés et je ne compren rien, c'est pas la même chose que les fonctions de suites si vous pourieez m'expliquer merci beaucoup d'avance

[pzorba75]

Pour les questions 1 et 2 :

1) f est définie sur R, son dénominateur n'étant jamais nul (somme de deux exponentielles)

2) en multipliant le dénominateur et le numérateur de f par e^x, jamais nul, on obtient la forme demandée.

la limite en +infty de e^{2x} est +infty, donc le limite de f en +\infty est 1.

la limite en -infty de e^{2x} est 0, donc le limite de f en -\infty est -1.

3) pas de difficulté

4) Appliquer la formule du cours la tangente au point d'abscisse a est donnée par y=f'(a)(x-a)+f(a), le résultat est y=x.

5) Position relative de C et T tangente :

x<0 : f(x)-x>0 =>C est au-dessus de T,

x>0 : f(x)-x<0 =>C est au-dessous de T

À toi de rédiger en justifiant ces réponses, les calculs sont très simples et sans aucun piège.

6) Pour l'étude de la suite (un), montre d'abord ce que tu as fait.  

[Ranio]

Bonsoir pour la dériveé je peux utiliser n'importe une des deux fonctions  ou une seule ? : j'ai trouvé (4*exp(2*x))/((exp(2*x)+1)^2)







en utilisant la première ;  est-ce juste ?

[pzorba75]

Si l'énoncé suggère d'écrire f(x) =(e^2x-1)/(e^2x+1), c'est à retenir pour la suite en particulier pour calculer f'(x).

[Ranio]

Bonsoir désolé de répondre plus tard car j'avais des examens, pour la dérivée je n'arrive toujour pas à développer quand jai des -exp(-x), exp(-x), et dériver aussi , est-ce que je peux partir de la dérivée pour retrouver f(x) ?

[Barbidoux]

il y a 41 minutes, Ranio a dit :

Bonsoir désolé de répondre plus tard car j'avais des examens, pour la dérivée je n'arrive toujour pas à développer quand jai des -exp(-x), exp(-x), et dériver aussi , est-ce que je peux partir de la dérivée pour retrouver f(x) ?

avant de dériver il peut être utile de simplifier  l'expression de f(x)

[Ranio]

Je ne comprends pas d'où sort le -2

[pzorba75]

il y a 15 minutes, Ranio a dit :

Je ne comprends pas d'où sort le -2

e^2x-1=e^2x-1+1-1=e^2x+1-2, tout simplement.

[Ranio]

d'accord…..  j'obtient ça est-ce juste ?

[Ranio]

Bonjour 

Lorsque je calcule g'(x) je ne retombe pas dessus j'ai trouvé :

[julesx]

Mais c'est pareil, il suffit de regrouper les deux carrés :

(-1+e^x)²(1+e^x)²=[(e^x-1)(e^x+1)]²=(e^2x-1)²

OK ?

[Ranio]

j'avais pas vu….  et le tableau est juste du coup ? 

 

 

[julesx]

C'est de g(x) que tu parles, je suppose. Donc, change la première colonne. A cela près, ton tableau est juste. A noter que l'énoncé ne demandait pas les limites, a priori, supprime les.

[Ranio]

D'accord et j'ai une question : pour la 2)a comment j'interprète, , et pour la 5) c comment je trouve son signe ? 

[julesx]

2)a Tu interprètes en termes d'asymptotes horizontales.

5) Comme g(x) est uniformément décroissante et passe par 0 pour x=0, tu en déduis que g(x)>0 sur ]-∞;0[ et g(x)<0 sur ]0;+∞[.

[Ranio]

D'accord, je dis juste ça pour prouver que g(x) >0 Pas besoin de calculs ? 

 

 

Et pour la question 6  il faut que je calcule les termes uO, u1,.... avec f(x) c'est ça ? mais comment je les positionne sur l'axe ? 

[julesx]

il y a 5 minutes, Ranio a dit :

D'accord, je dis juste ça pour prouver que g(x) >0 Pas besoin de calculs ? 

Non, pas besoin de calculs.

 

il y a 6 minutes, Ranio a dit :

Et pour la question 6  il faut que je calcule les termes uO, u1,.... avec f(x) c'est ça ? mais comment je les positionne sur l'axe ? 

Non, l'énoncé dit "pas besoin de calculs". En fait, il faut procéder graphiquement, je te joins un fichier.

[Ranio]

Oui mais il faut que j'explique d'où ça vient non ? 

Et du coup pour la conjecture je dis que ça converge vers 0,5

[julesx]

il y a 48 minutes, Ranio a dit :

Oui mais il faut que j'explique d'où ça vient non ?

Il faut surtout justifier la construction. Regarde comment elle se fait et décris ce que tu as compris.

il y a 48 minutes, Ranio a dit :

Et du coup pour la conjecture je dis que ça converge vers 0,5

Non, ça converge vers 0, continue en construisant encore quelques points.

[Ranio]

Donc pour le sens de variation  elle est décroissante et sa limite est 0

[julesx]

Oui, mais attention, pour le moment, c'est une conjoncture, il te reste à le démontrer dans les questions b et c. Mais pour la démonstration par récurrence, je préfère qu'un autre intervenant prenne le relais, j'ai toujours du mal avec ces inégalités à répétition.

[Ranio]

mais j'ai une question pour la conjecture je dis qu'elle est décroissante et que sa limite est 0 mais moi je vois ça comme si en fait elle converge vers 0

[Ranio]

et pour la 6 b du coup c'est pas la même chose ? je ne comprend pas

[Barbidoux]

6a—————————————

6b—————————————
u_n+1=f(u_n)
Vraie pour x=0
Supposé vérifiée pour n ==> 0≤u_n≤u_n-1
à l’ordre (n+1)
u_n+1=f(u_n)=(exp(2*u_n)-1)/(exp(2*u_n)+1)=1-2/(exp(2*u_n)+1)
or 0<u_n≤u_n-1 ==> 1-2/(exp(2*u_n)+1)≤ 1-2/(exp(2*u_n-1)+1)===> f(u_n)≤f(u_n-1) <==> u_n+1≤u_n
la relation étant vérifiée à l’ordre n+1 est héréditaire donc valide pour toute valeur de n

6c—————————————
La suite un est bornée décroissante elle converge.

 

 

[Ranio]

Bonsoir, 

Pour la récurrence moi je suis partie avec f(x) = (exp(2x) -1)/(exp(2x)+1); et je trouve :

 

Propriété au rang n : 0=<Un+1=<Un=<1

Initialisation au rang 0: on a u0=1 et f(u0)= 0,762 initialisation vérifiée !

Hérédité avec p : on veut prouver que 0=<Up+2=<Up+1=<1

on applique f qui est strictement croissante sur (0;1)

or f(0)= 0 et f(1) =0,762  = c'est faux non ? je suis sensé trouve un nombre supérieur à 1 ?  ; f(Up) =Up+1 et f(Up+1) = Up+2

on en déduit  0=<Up+2=<Up+1=<1