Exponentielle

[Barbidoux]

Il y a 3 heures, Ranio a dit :

Pour la récurrence moi je suis partie avec f(x) = (exp(2x) -1)/(exp(2x)+1); et je trouve :

Propriété au rang n : 0=<Un+1=<Un=<1 Initialisation au rang 0: on a u0=1 et f(u0)= 0,762 initialisation vérifiée !

Hérédité avec p : on veut prouver que 0=<Up+2=<Up+1=<1

on applique f qui est strictement croissante sur (0;1) ???  et alors ?

or f(0)= 0 et f(1) =0,762  = c'est faux non ? non c'est l'initialisation

; f(Up) =Up+1 et f(Up+1) = Up+2  ça c'est une application de la définition de u_n

on en déduit  0=<Up+2=<Up+1=<1 non !!! c'est une affirmation gratuite, c'est ce qu'il faut démonter

Je crois que tu n'a pas bien compris ce qu'est une démonstration par récurrence :

6b—————————————

On veut démonter que 0≤ u_n+1<u_n
avec u_n+1=f(u_n)=(exp(2*u_n)-1)/(exp(2*u_n)+1)=1-2/(exp(2*u_n)+1)
1°) Initialisation : On vérifie que P(n) est vraie pour une certaine valeur de n, appelée n0.  On choisit pour n0, la plus petite valeur de n possible.

n=1 ==>  u₁=0.761 et  u₂=f(u1)=0.642   ==>0≤u₂≤u₁≤1 (P₁)

2°) Hérédité :  On suppose que P(n) est vraie pour un entier n≥n0.
 0≤u_n≤u_n-1
On démontre que cela entraine que P(n+1) est vraie. à l’ordre (n+1)

u_n+1=f(u_n)=(exp(2*u_n)-1)/(exp(2*u_n)+1)=1-2/(exp(2*u_n)+1) or 0<u_n≤u_n-1 ==> 1-2/(exp(2*u_n)+1)≤ 1-2/(exp(2*u_n-1)+1)<==> f(u_n)≤f(u_n-1) <==> u_n+1≤u_n

3°) Conclusion Comme P₁ est vraie et P(n) est héréditaire pour tout entier n≥1. Donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier n≥1.
la relation étant vérifiée à l’ordre n+1 est héréditaire donc valide pour toute valeur de n

 

[Ranio]

Mais moi dans mon cours , on doit prouver qu'elle est vraie au rang SUIVANT avec p+2; je ne comprends pas ici avec P-1

[Barbidoux]

On veut démonter la propriété 0≤ u_n+1≤u_n avec u_n+1=f(u_n)

La relation un+1<un n'est pas vérifié au rang 0 puisque pour n=0 on a u1=0.761 et u0=0, par contre elle l'est au rang 1 puisque u₂=0.642 et u₁=0.761. L'initialisation doit donc se faire pour n=1.

Ensuite pour l'hérédité : tu la suppose vérifiée pour un rang quelconque (moi j'ai considéré le rang tel que 0≤u_n≤u_n-1 et admis qu'elle était vérifié pour ce rang, mais tu peux choisir ce que tu veux ... ) à partir de là  il te faut démontrer qu'elle est vérifiée pour le rang suivant donc dans mon cas que u_n+1≤u_n  (ce que j'ai fait). Mais si tu veux admettre que la proposition est vraie pour n=p ce qui revient à écrire u_p+1≤u_pil  faut démonter que u_p+2≤u_p+1 et pour cela il n'est pas suffisant de dire que u_p+1=f(u_p) et u_p+2=f(u_p+1) car ceci n'est que l'application de la définition de u_n. Il faut encore le justifier et pour cela plusieurs possibilités, écrire  l'expression de  f(p+1) et montrer que sa valeur est inférieure à celle de f(p) (ce que j'ai fait), ou faire appel au  sens de variation de la fonction f(u) vue au début de l'exercice ce qu'il faut expliquer.

 

Et pour le raisonnement par récurrence tu peux aller voir là : http://www.jaicompris.com/lycee/math/suite/suite-recurrence.php

[julesx]

Bonjour Barbidoux,

Juste une remarque, cf. énoncé, u₀=1, donc on peut faire l'initialisation à partir de n=0.

[Ranio]

Mais c'est faux si on ne commence pas par u0=1 ?

[julesx]

La suite est définie à partir de u₀=1, donc je ne vois pas pourquoi tu commencerais à un autre indice. Barbidoux avait commencé à u₁ car pour lui, u₀ était égal à 0, donc ne convenait pas.

[Barbidoux]

Il y a 5 heures, julesx a dit :

Bonjour Barbidoux,

Juste une remarque, cf. énoncé, u₀=1, donc on peut faire l'initialisation à partir de n=0.

oui exact au temps pour moi...  u₀=1 au lieu de u₀=0 et la relation est bien vérifié pour n=0