exercice de "etude d'une suite" et "proprieté de a"

[koukolo]

Partie A : etude de fonction 
soit f définie sur ]0;+[ par f(x)=((1+x)/x)((1+x)-1) 
1.a) déterminer lim f(x)pour x+ 
J'ai trouvé + 

b) montrer que pour tout x de ]0;+[, f(x)=(1+x)/(1+(1+x)) 

c) en déduire lim f(x) pour x0 

2.a) montrer que f est dérivable sur ]0;+[ et que pourtout x de cet intervalle f'(x) = (1+(1/2)(1+x))/(1+(1+x))² 

b) dresser le tableau de variation de f sur ]0;+[ 

c) montrer que f([1/2;1])[1/2;1] 

partie B étude de suite 

soit (u_n définie par u₀=1 et u_n+1=f(u_n) 
1. montrer par récurrence, que pour tout n de u_n[1/2;1] 
Merci de m'aider 

2. montrer par récurrence, que pour tout n de  u_n+1<u_n 

3. en déduire que u_n converge vers un réel a solution de l'équation f(x)=x 

Merci de m'aiguiller pour la partie B et C mais aussi la partie 3 du A

 

 

si c'est n'est pas assez claire voici l'enoncé de lexercice

@Barbidouxpoiriez vous m'aider sur cette exercice? 

 

[Barbidoux]

va voir là

 

[koukolo]

et pour la partie B? 

 

il y a 6 minutes, Barbidoux a dit :

va voir là

 

aussi pour la partie Cque pzorba75 a aidé je voix pas quoi elle/il veut dire

 

[koukolo]

@Barbidoux

 

[Black Jack]

Salut,

Je lance le début :

1 b)

f(x)=((1+x)/x)(V(1+x)-1) 

f(x)=((1+x)/x) * (V(1+x)-1) * (V(1+x)+1)/(V(1+x)+1) 

f(x)=((1+x)/x) * [(V(1+x)-1) * (V(1+x)+1)]/(V(1+x)+1)

f(x)=((1+x)/x) * [1+x-1]/(V(1+x)+1)

f(x)=((1+x)/x) * x/(V(1+x)+1)

f(x)= (1+x)/(V(1+x)+1)

A Essaie de continuer ... la question 1c est facile (à partir de la réponse de la 1b)

 

 

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous,

La partie A a été corrigée plus haut.

Pour la partie B, le 1) se déduit directement du 2)c. de la partie A . Si Un est dans [1/2 ; 1] , alors d'après ce qui précède, f(Un) = Un+1 est aussi dans cet intervalle. Or Uo est dans cet intervalle, donc tous les termes suivants le sont également.

En revanche quelqu'un aurait-il une idée pour démontrer la décroissance de la suite dans le 2) ?

Merci d'avance.

[julesx]

Bonjour,

Moi, je verrais cela ainsi :

Initialisation :
u₀=1 f(u₀)=1/2 => u₁=f(u₀)<u₀
initialisation OK

Hérédité :
u_n<u_n-1 =>f(u_n)<f(u_n-1) car f(x) est croissante
f(u_n)<f(u_n-1) => u_n+1<u_n
hérédité OK

[C8H10N4O2]

Le 03/09/2021 à 13:56, julesx a dit :

Bonjour,

Moi, je verrais cela ainsi :

Initialisation :
u₀=1 f(u₀)=1/2 => u₁=f(u₀)<u₀
initialisation OK

Hérédité :
u_n<u_n-1 =>f(u_n)<f(u_n-1) car f(x) est croissante
f(u_n)<f(u_n-1) => u_n+1<u_n
hérédité OK

Merci beaucoup ! :)