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C8H10N4O2

Limite exponentielle

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Bonjour à tous ! 

Pour montrer que  image.png.35153743ca0387eb01e5950c0d290dc8.png  , je montre que pour tout x>0 ,  image.png.4b95d5bb008b38c304db73d2f3afd09d.png  , du fait que  image.png.d4f9222ddeb03fecff7dca9800e659d0.png  soit strictement positive sur  image.png.543355a8fdd267a2d6b7b20ff7ddf4d1.png  (résultat obtenu en étudiant le signe des dérivées successives de f).

 

Donc   image.png.9ec2065672e74027fccc15f5d54d4971.png  et comme  image.png.ad4cf5e00af6c00ba4b2797c4ac797ac.png  , on obtient le résultat souhaité . 

 

  Mais je ne sais pas comment démontrer de la même manière la limite plus générale  image.png.3b835429fb14fb07a9040c48e11b323e.png

 

Auriez-vous une petite idée sur la question ?

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Il y a 14 heures, Barbidoux a dit :

Il suffit d'écrire f(x)=exp(x)/x^n=(exp(x/n)/(x/n))^n*(1/n^n) et d'utiliser la composition des limites lorsque x-> ∞

D'accord donc image.png.813607ecec6bfc8a7cd49a9284a92238.png ,  on pose image.png.5da38fa041203b6f5e7a5b242f3bc024.png  de sorte que image.png.3acad27569e6a203f85b683df2475958.png   , c'est bien cela ? 

Mais alors qu'en est-il de la limite de image.png.229c617b1ff30a9a634a405171187878.png  ?

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il y a 54 minutes, julesx a dit :

1/nn est une constante, puisque n est fixé.

D'accord j'avais peur qu'avec n très grand on puisse avoir une indétermination  image.png.e08cfdb3851a17d7ff5ee3aaf5b27e22.png  , mais je fais certainement un contresens.

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Il y a 16 heures, Barbidoux a dit :

On sait que pour n appartenant à N* et x>1 alors x^n≥x  donc lorsque x->∞ on en déduit que x^n-> ∞.

C'est ça qui ne me paraissait pas évident... Comment le montre-t-on rigoureusement ?

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Oui on peut montrer image.png.cba7f04610ae3d3c2724a05e9580b546.png  et de la même manière, toujours à partir de x> 1 : image.png.dbe8406bc59c34105fbb8515555955d1.png  , etc .  Donc au final, on a bien image.png.2df2f31f2a9c14fa72c7a4a882b55d42.png 

 Mais je me demande comment exprimer "proprement" cette récurrence.

il y a une heure, julesx a dit :

Une possibilité, étudier le signe de xn-x pour x>1 et n>1.

xn-x=(xn-1-1)*x

x>1 donc x>0

x>1 n>1 => xn-1>1n-1=1 donc xn-1-1>0

etc...

Si on peut dire ça, alors autant dire directement xn > x , non ? Il me semble que ça revient à admettre qu'une exponentiation d'exposant positif est une fonction croissante, ce qui est précisément ce qu'on cherche à démontrer...

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Je ne comprends pas ta remarque. Tu demandes comment montrer que xn>x. Dans la démarche que je te suggère, je ne vois pas pourquoi dire xn-1>1 est la même chose que dire xn>x.

A noter également que le fait qu'une fonction est croissante n'implique pas forcément qu'elle tende vers l'infini.

 

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il y a 13 minutes, julesx a dit :

Je ne comprends pas ta remarque. Tu demandes comment montrer que xn>x. Dans la démarche que je te suggère, je ne vois pas pourquoi dire xn-1>1 est la même chose que dire xn>x.

A noter également que le fait qu'une fonction est croissante n'implique pas forcément qu'elle tende vers l'infini.

 

Je me suis mal exprimé. Je ne saisis pas quelle règle justifie  image.png.1f43ab933fd27708bce3f24c47f2a4bf.png

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Il y a 5 heures, C8H10N4O2 a dit :

C'est ça qui ne me paraissait pas évident... Comment le montre-t-on rigoureusement ?

 n appartenant à N* et x>1

x^n≥x vrai à l'ordre 1. On le suppose vrai à l'ordre n ==> x^n≥x à l'ordre n+1 puisque x>1 alors x^(n+1)≥x. La propriété étant héréditaire elle est valide pour toute valeur de n ce qui démontre que 

 n appartenant à N* et x>1 ==> x^n≥x

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@C8H10N4O2

En ce qui concerne la règle que j'ai employée, elle découle d'une des propriétés des inégalités

Toute fonction strictement croissante peut être appliquées aux deux termes d'une inégalité tout en la conservant.

La fonction puissance n avec n entier positif supérieur à 1 est bien strictement croissante pour x positif.

Modifié par julesx

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il y a 30 minutes, julesx a dit :

@C8H10N4O2

En ce qui concerne la règle que j'ai employée, elle découle d'une des propriétés des inégalités

Toute fonction strictement croissante peut être appliquées aux deux termes d'une inégalité tout en la conservant.

La fonction puissance n avec n entier positif supérieur à 1 est bien strictement croissante pour x positif.

Et ça je le démontre avec la suggestion de Pzorba, étudier le signe de la dérivée ?

@Barbidoux

il y a 45 minutes, Barbidoux a dit :

 n appartenant à N* et x>1

x^n≥x vrai à l'ordre 1. On le suppose vrai à l'ordre n ==> x^n≥x à l'ordre n+1 puisque x>1 alors x^(n+1)≥x. La propriété étant héréditaire elle est valide pour toute valeur de n ce qui démontre que 

 n appartenant à N* et x>1 ==> x^n≥x

Ici je multiplie terme à terme les inégalités image.png.674e2ce0d0de53622cf9de20e798e4ed.png  et  image.png.61c38323993c656810fc21b1da2f8556.png  , c'est bien cela ?

Modifié par C8H10N4O2

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il y a 38 minutes, C8H10N4O2 a dit :
il y a une heure, julesx a dit :

@C8H10N4O2

En ce qui concerne la règle que j'ai employée, elle découle d'une des propriétés des inégalités

Toute fonction strictement croissante peut être appliquées aux deux termes d'une inégalité tout en la conservant.

La fonction puissance n avec n entier positif supérieur à 1 est bien strictement croissante pour x positif.

Et ça je le démontre avec la suggestion de Pzorba, étudier le signe de la dérivée ?

Pour moi, c'est inutile, ça fait partir des propriétés de la fonction puissance n.

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Merci à tous, je crois que ça répond de plusieurs manières à ma question :) 

Une petite question subsidiaire : à propos de la dérivée de xn , n entier naturel .  On suppose image.png.c92faf8407d2a2abd20b2bc048931f15.png  vrai à l'ordre n-1, et on a

image.png.1a558f46218cf04bcc5df5575330fdce.png image.png.776a7c841a5ff7df55d6c5ac9784a5cb.png

Donc la formule est vérifiée à l'ordre n. Et on voit souvent écrit : comme la formule est vérifiée à l'ordre 0, elle l'est aussi à l'ordre 1, etc et finalement à tout ordre n.

Mais ce que je ne comprends pas, et je crois l'avoir déjà mentionné sur ce forum, c'est que à l'ordre 0, on a image.png.68ce25efbfaea7896aaf3ac9627033ec.png et donc pour moi, cela exclut 0 des valeurs de x pour lesquelles la formule est valable...

Ci-dessous un exemple trouvé sur internet

2072805708_Capturedcran2019-06-2119_41_47.thumb.png.2f77bee1948170aa2466b738d0ab745f.png

 

J'avoue ne pas comprendre la démonstration proposée...

Qu'en pensez-vous ?

Modifié par C8H10N4O2

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A priori, les sites donnent généralement la formule de la dérivée pour n appartenant à N*, donc excluent le cas n=0. Certains précisent que, pour n=0, on postule que x0=1, donc une constante dont la dérivée est nulle, sans chercher d'autres justifications comme celle que tu cites (et qui me paraît pour le moins tirée par les cheveux).

Mais ce n'est que mon opinion, d'autres intervenants ne manqueront pas de te donner la leur.

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Oui effectivement, sous cette forme là ça me parait tout à fait correct comme justification.

Merci à tous pour vos réponses.

La généralisation à la démonstration pour n réel quelconque est-elle abordable pour un niveau TS ?

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Rassurez moi !

Il y a 9 heures, C8H10N4O2 a dit :

La généralisation à la démonstration pour n réel quelconque est-elle abordable pour un niveau TS ?

 

Il y a 8 heures, Barbidoux a dit :

Oui  après voir vu la formule du binôme de Newton permettant de developper (a+h)^n 

Pour n réel ?

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