C8H10N4O2 Posté(e) le 19 juin 2019 Signaler Posté(e) le 19 juin 2019 Bonjour à tous ! Pour montrer que , je montre que pour tout x>0 , , du fait que soit strictement positive sur (résultat obtenu en étudiant le signe des dérivées successives de f). Donc et comme , on obtient le résultat souhaité . Mais je ne sais pas comment démontrer de la même manière la limite plus générale Auriez-vous une petite idée sur la question ?
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 19 juin 2019 E-Bahut Signaler Posté(e) le 19 juin 2019 Il suffit d'écrire f(x)=exp(x)/x^n=(exp(x/n)/(x/n))^n*(1/n^n) et d'utiliser la composition des limites lorsque x-> ∞
C8H10N4O2 Posté(e) le 20 juin 2019 Auteur Signaler Posté(e) le 20 juin 2019 Il y a 14 heures, Barbidoux a dit : Il suffit d'écrire f(x)=exp(x)/x^n=(exp(x/n)/(x/n))^n*(1/n^n) et d'utiliser la composition des limites lorsque x-> ∞ D'accord donc : , on pose de sorte que , c'est bien cela ? Mais alors qu'en est-il de la limite de ?
E-Bahut julesx Posté(e) le 20 juin 2019 E-Bahut Signaler Posté(e) le 20 juin 2019 1/nn est une constante, puisque n est fixé.
C8H10N4O2 Posté(e) le 20 juin 2019 Auteur Signaler Posté(e) le 20 juin 2019 il y a 54 minutes, julesx a dit : 1/nn est une constante, puisque n est fixé. D'accord j'avais peur qu'avec n très grand on puisse avoir une indétermination , mais je fais certainement un contresens.
E-Bahut julesx Posté(e) le 20 juin 2019 E-Bahut Signaler Posté(e) le 20 juin 2019 Comme n est fixé, donc constant, même s'il est très grand, /nn garde une valeur finie. Il ne peut donc pas avoir d'indétermination.
C8H10N4O2 Posté(e) le 20 juin 2019 Auteur Signaler Posté(e) le 20 juin 2019 À propos comment démontre-t-on ? J'aurais dit : Or , donc ... Mais c'est peut-être un peu tiré par les cheveux
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 20 juin 2019 E-Bahut Signaler Posté(e) le 20 juin 2019 On sait que pour n appartenant à N* et x>1 alors x^n≥x donc lorsque x->∞ on en déduit que x^n-> ∞.
C8H10N4O2 Posté(e) le 21 juin 2019 Auteur Signaler Posté(e) le 21 juin 2019 Il y a 16 heures, Barbidoux a dit : On sait que pour n appartenant à N* et x>1 alors x^n≥x donc lorsque x->∞ on en déduit que x^n-> ∞. C'est ça qui ne me paraissait pas évident... Comment le montre-t-on rigoureusement ?
E-Bahut julesx Posté(e) le 21 juin 2019 E-Bahut Signaler Posté(e) le 21 juin 2019 Une possibilité, étudier le signe de xn-x pour x>1 et n>1. xn-x=(xn-1-1)*x x>1 donc x>0 x>1 n>1 => xn-1>1n-1=1 donc xn-1-1>0 etc...
C8H10N4O2 Posté(e) le 21 juin 2019 Auteur Signaler Posté(e) le 21 juin 2019 Oui on peut montrer : et de la même manière, toujours à partir de x> 1 : , etc . Donc au final, on a bien Mais je me demande comment exprimer "proprement" cette récurrence. il y a une heure, julesx a dit : Une possibilité, étudier le signe de xn-x pour x>1 et n>1. xn-x=(xn-1-1)*x x>1 donc x>0 x>1 n>1 => xn-1>1n-1=1 donc xn-1-1>0 etc... Si on peut dire ça, alors autant dire directement xn > x , non ? Il me semble que ça revient à admettre qu'une exponentiation d'exposant positif est une fonction croissante, ce qui est précisément ce qu'on cherche à démontrer...
E-Bahut julesx Posté(e) le 21 juin 2019 E-Bahut Signaler Posté(e) le 21 juin 2019 Je ne comprends pas ta remarque. Tu demandes comment montrer que xn>x. Dans la démarche que je te suggère, je ne vois pas pourquoi dire xn-1>1 est la même chose que dire xn>x. A noter également que le fait qu'une fonction est croissante n'implique pas forcément qu'elle tende vers l'infini.
C8H10N4O2 Posté(e) le 21 juin 2019 Auteur Signaler Posté(e) le 21 juin 2019 il y a 13 minutes, julesx a dit : Je ne comprends pas ta remarque. Tu demandes comment montrer que xn>x. Dans la démarche que je te suggère, je ne vois pas pourquoi dire xn-1>1 est la même chose que dire xn>x. A noter également que le fait qu'une fonction est croissante n'implique pas forcément qu'elle tende vers l'infini. Je me suis mal exprimé. Je ne saisis pas quelle règle justifie :
E-Bahut pzorba75 Posté(e) le 21 juin 2019 E-Bahut Signaler Posté(e) le 21 juin 2019 Etudie le signe de la dérivée de la fonction x:->x^n pour répondre.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 21 juin 2019 E-Bahut Signaler Posté(e) le 21 juin 2019 Il y a 5 heures, C8H10N4O2 a dit : C'est ça qui ne me paraissait pas évident... Comment le montre-t-on rigoureusement ? n appartenant à N* et x>1 x^n≥x vrai à l'ordre 1. On le suppose vrai à l'ordre n ==> x^n≥x à l'ordre n+1 puisque x>1 alors x^(n+1)≥x. La propriété étant héréditaire elle est valide pour toute valeur de n ce qui démontre que n appartenant à N* et x>1 ==> x^n≥x
E-Bahut julesx Posté(e) le 21 juin 2019 E-Bahut Signaler Posté(e) le 21 juin 2019 @C8H10N4O2 En ce qui concerne la règle que j'ai employée, elle découle d'une des propriétés des inégalités Toute fonction strictement croissante peut être appliquées aux deux termes d'une inégalité tout en la conservant. La fonction puissance n avec n entier positif supérieur à 1 est bien strictement croissante pour x positif.
C8H10N4O2 Posté(e) le 21 juin 2019 Auteur Signaler Posté(e) le 21 juin 2019 il y a 30 minutes, julesx a dit : @C8H10N4O2 En ce qui concerne la règle que j'ai employée, elle découle d'une des propriétés des inégalités Toute fonction strictement croissante peut être appliquées aux deux termes d'une inégalité tout en la conservant. La fonction puissance n avec n entier positif supérieur à 1 est bien strictement croissante pour x positif. Et ça je le démontre avec la suggestion de Pzorba, étudier le signe de la dérivée ? @Barbidoux il y a 45 minutes, Barbidoux a dit : n appartenant à N* et x>1 x^n≥x vrai à l'ordre 1. On le suppose vrai à l'ordre n ==> x^n≥x à l'ordre n+1 puisque x>1 alors x^(n+1)≥x. La propriété étant héréditaire elle est valide pour toute valeur de n ce qui démontre que n appartenant à N* et x>1 ==> x^n≥x Ici je multiplie terme à terme les inégalités et , c'est bien cela ?
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 21 juin 2019 E-Bahut Signaler Posté(e) le 21 juin 2019 il y a 11 minutes, C8H10N4O2 a dit : @Barbidoux Ici je multiplie terme à terme les inégalités et , c'est bien cela ? Oui..
E-Bahut julesx Posté(e) le 21 juin 2019 E-Bahut Signaler Posté(e) le 21 juin 2019 il y a 38 minutes, C8H10N4O2 a dit : il y a une heure, julesx a dit : @C8H10N4O2 En ce qui concerne la règle que j'ai employée, elle découle d'une des propriétés des inégalités Toute fonction strictement croissante peut être appliquées aux deux termes d'une inégalité tout en la conservant. La fonction puissance n avec n entier positif supérieur à 1 est bien strictement croissante pour x positif. Et ça je le démontre avec la suggestion de Pzorba, étudier le signe de la dérivée ? Pour moi, c'est inutile, ça fait partir des propriétés de la fonction puissance n.
C8H10N4O2 Posté(e) le 21 juin 2019 Auteur Signaler Posté(e) le 21 juin 2019 Merci à tous, je crois que ça répond de plusieurs manières à ma question Une petite question subsidiaire : à propos de la dérivée de xn , n entier naturel . On suppose vrai à l'ordre n-1, et on a : Donc la formule est vérifiée à l'ordre n. Et on voit souvent écrit : comme la formule est vérifiée à l'ordre 0, elle l'est aussi à l'ordre 1, etc et finalement à tout ordre n. Mais ce que je ne comprends pas, et je crois l'avoir déjà mentionné sur ce forum, c'est que à l'ordre 0, on a : et donc pour moi, cela exclut 0 des valeurs de x pour lesquelles la formule est valable... Ci-dessous un exemple trouvé sur internet : J'avoue ne pas comprendre la démonstration proposée... Qu'en pensez-vous ?
E-Bahut julesx Posté(e) le 22 juin 2019 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 juin 2019 A priori, les sites donnent généralement la formule de la dérivée pour n appartenant à N*, donc excluent le cas n=0. Certains précisent que, pour n=0, on postule que x0=1, donc une constante dont la dérivée est nulle, sans chercher d'autres justifications comme celle que tu cites (et qui me paraît pour le moins tirée par les cheveux). Mais ce n'est que mon opinion, d'autres intervenants ne manqueront pas de te donner la leur.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 22 juin 2019 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 juin 2019 Il y a 23 heures, C8H10N4O2 a dit : Ci-dessous un exemple trouvé sur internet : J'avoue ne pas comprendre la démonstration proposée... Qu'en pensez-vous ?
C8H10N4O2 Posté(e) le 23 juin 2019 Auteur Signaler Posté(e) le 23 juin 2019 Oui effectivement, sous cette forme là ça me parait tout à fait correct comme justification. Merci à tous pour vos réponses. La généralisation à la démonstration pour n réel quelconque est-elle abordable pour un niveau TS ?
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 23 juin 2019 E-Bahut Signaler Posté(e) le 23 juin 2019 Oui après voir vu la formule du binôme de Newton permettant de developper (a+h)^n
E-Bahut julesx Posté(e) le 23 juin 2019 E-Bahut Signaler Posté(e) le 23 juin 2019 Rassurez moi ! Il y a 9 heures, C8H10N4O2 a dit : La généralisation à la démonstration pour n réel quelconque est-elle abordable pour un niveau TS ? Il y a 8 heures, Barbidoux a dit : Oui après voir vu la formule du binôme de Newton permettant de developper (a+h)^n Pour n réel ?
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