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f(x) = (1+x)/x(√((1+x))-1)


debril
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Partie A - Etude d'une fonction
Soit f définie sur ]0;+∞[ par : f(x) = (1+x)/x(√((1+x))-1) avec : f'(x) = (1+(1/2)(√1+x))/(1+√1+x)²

b) Montrer que pour tout x de ]0;+∞[, f(x) = (1+x)/(1+√(1+x))
c) Montrer que : f([1/2 ; 1])∁ [1/2 ;1]

Partie B - Etude d'une suite
Soit (un) définie par : u0=1 et un+1=f(un)
1) Montrer par récurrence que pour tout n de N, un ∈ [□(1/2);1]

Partie C - Propriété de a
Soit g définie sur ]0;+∞[ par g(x) = x3+x²-1
1) Montrer que g est strictement croissante sur ]0;+∞[
2) Montrer que pour tout x de ]0;+∞[, f(x)=x↔g(x)=0. En déduire que a est l'unique solution dans ]0;+∞[ de l'équation g(x)=0
3) Donner un encadrement d'amplitude 10-3 de a

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  Il y a bien x au dénominateur ? car le principe générale c'est d'utiliser la quantité conjuguée (on multiplie en haut et en bas) pour faire partir les radicaux : (V(x+1)-1 )(V(x+1)+1)) = (x+1) -1 =x  (car a²-b²  =(a-b)(a+b) ) et donc on ne trouve pas ce qui est indiqué

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  • E-Bahut

a)---------------
f(x)=(1+x)/x(√(1+x)-1) à ne pas confondre avec f(x)=(1+x)/(x(√(1+x)-1))

Il aurait mieux valu écrire f(x)=(1+x)*(√(1+x)-1)/x=(1+x)*(√(1+x)-1)*(√(1+x)+1)/(x*(√(1+x)+1))=(1+x)*x/(x*(√(1+x)+1))=(1+x)/(√(1+x)+1)

f'(x)=-√(1+x)/(2*(1+√(1+x))^2)+1/(1+√(1+x))=(2+√(1+x)/(2*(√(1+x)+1)

Dérivée >0 pour x appartenant à [0,∞[ donc f© es une fonction croissante et comme f(1/2)=0.674 et f(1)=0.8284 on en déduit que f([1/2 ; 1]) appartient à [1/2 ;1]

 

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Bonjour! Un grand merci pour l'aide, juste quelques questions

Vous avez écrit à la fin (1+x)*x/(x*(√(1+x)+1)) , mais je ne comprends vraiment pas d'où on multiplie (1+x) par x ; "(1+x)*x"

Et merci pour le reste,j'avais tout bon!

Il y a 19 heures, debril a dit :

Partie A - Etude d'une fonction
Soit f définie sur ]0;+∞[ par : f(x) = (1+x)/x(√((1+x))-1) avec : f'(x) = (1+(1/2)(√1+x))/(1+√1+x)²

b) Montrer que pour tout x de ]0;+∞[, f(x) = (1+x)/(1+√(1+x))

Partie C - Propriété de a
Soit g définie sur ]0;+∞[ par g(x) = x3+x²-1
2) Montrer que pour tout x de ]0;+∞[, f(x)=x↔g(x)=0. En déduire que a est l'unique solution dans ]0;+∞[ de l'équation g(x)=0
3) Donner un encadrement d'amplitude 10-3 de a

 

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  • E-Bahut
il y a une heure, debril a dit :

Bonjour! Un grand merci pour l'aide, juste quelques questions

Vous avez écrit à la fin (1+x)*x/(x*(√(1+x)+1)) , mais je ne comprends vraiment pas d'où on multiplie (1+x) par x ; "(1+x)*x"

Et merci pour le reste,j'avais tout bon!

 

=(1+x)*(√(1+x)-1)*(√(1+x)+1)/(x*(√(1+x)+1))=(1+x)*((√(1+x))^2-1)/(x*(√(1+x)+1))=(1+x)*(1+x-1)/(x*(√(1+x)+1))=(1+x)*x/(x*(√(1+x)+1))=(1+x)/(√(1+x)+1))

il y a 57 minutes, volcano47 a dit :

pour moi, (1+x)/x(√(1+x)-1) signifie [ (1+x) /x ] . (1/ (V(1+x ) -1 ) ;

non c'est  (1+x)/(x(√(1+x)-1)) qui se traduit par [ (1+x) /x ] . (1/ (V(1+x ) -1 )

1.jpg.2086395260effab80798d06bd59f7384.jpg

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Merci beaucoup!!!! Dernière chose si vous pourriez m'aider svp... je ne comprends pas la question :

Partie C - Propriété de a
Soit g définie sur ]0;+∞[ par g(x) = x3+x²-1

2) Montrer que pour tout x de ]0;+∞[, f(x)=x↔g(x)=0. En déduire que a est l'unique solution dans ]0;+∞[ de l'équation g(x)=0

Modifié par debril
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  • E-Bahut

f(x)=x ==> x étant >0 x=(1+x)/(1+√(1+x)) <==> x*(1+√(1+x))=1+x <==> x*√(1+x)=1 <==> x^2(x+1)=1 <===> x^3+x^2-1=0
soit h(x)=x^3+x^2-1 ==> h'(x)=3*x^2+2*x >0 pour x>0 ==> h(x) strictement croissante pour x>0 et comme h(0)=-1 et h(1)=1 (TVI) le graphe de h(x) intercepte l'axe des x en un point dont l'abscisse est la solution unique de h(x)=0 sur R+.
Cette solution déterminée par dichotomie vaut 0.754<a<0,755.

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Bonjour de mon côté j'ai répondu à toutes les questions sauf celles de la partie B:

Soit (un) définie par : u0=1 et un+1=f(un)

1.montrer par récurrence que pour tout n de N un ∈ [1/2:1]

2.Montrer par récurrence que pour tout n de N un+1<un

3.En déduire que (un) converge vers un réel a solution de l'équation f(x)=x

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