chateau de cartes

[LILLOU34]

Combien faut il de cartes pour construire un chateau de 2 etages ? 3 etages ? 6 etages?

Combien faut il de cartes pour un nombre quelconque d 'etages ? 

[Denis CAMUS]

BONJOUR,

 

 

 

Modifié le 17 octobre 2015 par Denis CAMUS

[Barbidoux]

Combien faut il de cartes pour construire un chateau de 2 etages ? 3 etages ? 6 etages?

Combien faut il de cartes pour un nombre quelconque d 'etages ? 

Le maths de cinquième ont bien changés ..... 

[LILLOU34]

en faite j avais commencer à faire comme vous réponse une mais il faut que j' explique mes calculs en forme de narration et j'ai du mal avec ça. 

[Barbidoux]

Tu es en cinquième ??? Cela m'étonnerais beaucoup .....  

[LILLOU34]

oui je suis en 5 eme , dans l'herault je viens d'avoir 12 ans. 

[LILLOU34]

Pourquoi ??

[Barbidoux]

Et bien tu ne peux pas résoudre cet exercice en cinquième.... Tu peux éventuellement trouver combien de cartes il te faut pour faire un château de 6 étages mais un château d'un nombre quelconque n d'étages j'en serais fort surpris. 

[LILLOU34]

si vous voulez je vous mets la photo de mon devoir je vous promets je suis en 5 eme 

 

[LILLOU34]

Bonsoir, 

Je suis la maman de lillou, je confirme que mon enfant est bien en 5 eme. Le devoir est à rendre pour la rentrée, je vous avoue que j'ai du mal à suivre, c'est pour cela que j ai dis à mon enfant de trouver un site qui pourrait l'aider. La question 2 de son DM est : Combien faut il de cartes pour un nombres quelconque d' étages ?? Merci pour vos conseils afin que je puisse moi meme lui expliquer .

[Olivier0507]

Je pense que le professeur attend au mieux que l'élève "intuite" le nombre de cartes nécessaires pour un château de n étages. Et même cela, c'est déjà très très largement hors programme, et l'intérêt pédagogique en est plus que limité du fait de la difficulté relativement au niveau. 

L'un des moyens les plus "simples" est de faire des dessins de châteaux pour différents nombres d'étages et de dénombrer le nombre de cartes horizontales et le nombre de cartes obliques nécessaires. Puis de généraliser une expression du nombre de cartes horizontales et obliques nécessaires au cas d'un nombre quelconque d'étages en s'appuyant sur ce que l'on a obtenu sur les exemples. (Voir en pièce jointe) 

Le nombre total de cartes pour un château de n étages est la somme du nombre de cartes horizontales nécessaires et du nombre de cartes obliques nécessaires soit 

n * (n-1) / 2         +        n * (n+1)

Modifié le 17 octobre 2015 par Olivier0507

[Barbidoux]

On peut (c'est le niveau de raisonnement le plus simple) compter le nombre des cartes (2 pour 1 étage 7 pour 2 étages 15 pour 3 étages etc…) ce qu'à proposé Denis.

Pour aller plus loin on peut compter le nombre de cartes nécessaire à la constitution de chacun des étages du château et  remarquer que tout ajout d'un étage supplémentaire nécessite  trois cartes de plus que celles nécessaires pour constituer le l'étage précédent …. Ainsi il faut il faut 2 cartes pour réaliser le premier étage, 2+3=5 pour réaliser le second, 5+3 pour le troisième etc… 

Donc pour un château de 3 étage il faudra un nombre N de cartes égal à 

N=2+5+8=15 cartes

et pour un château de 6 étages il faudra un nombre N de cartes égal à 

N=2+5+8+11+14+17=57 cartes

 

Je pense qu'au niveau de la cinquième cela reste encore compréhensible. C'este ensuite que cela se gâte d'où mon intervention.

 

Pour un nombre n d'étage il faudra faire la somme de n nombres en partant de 2, chaque nombre suivant étant égal au précédant auquel on ajoute 3 ce qui donnera

 N=2+5+8+11+14+…….. jusqu'à ce que l'on ait n nombres

on voit comment faire mais cela ne donne toujours pas le nombre de cartes nécessaire. Ce nombre ne peut être obtenu qu'en utilisant des expressions que l'on ne voit que dans des classes de niveau beaucoup plus élevé. C'est la raison pour la quelle il me semble impossible (en cinquième) de donner le nombre N des cartes nécessaires pour réaliser un château d'un nombre n quelconque d'étages (et qui vaut  N=(3*n^2+n)/2).

 

[Denis CAMUS]

http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/pedalyc/qo/num_lit/chateau_de_cartes/chateau_de_cartes_tni.pdf

 

http://educmath.ens-lyon.fr/Educmath/recherche/equipes-associees-10-11/demoz/chateau_de_cartes.pdf

[Olivier0507]

Comme quoi, même l'ENS encourage ce type de travaux dans les petites classes...

[Boltzmann_Solver]

Bonjour à tous,

Enfin les vacances. en effet, je donnais ce défi quand j'étais enseignant au collège à mes cinquièmes (mais plutôt en fin d'année pour s'amuser en classe). Avec des résultats parfois surprenants !

[Boltzmann_Solver]

PS : j'ai fait un corrigé pour ça si ça vous intéresse.

[LILLOU34]

oh oui merci pour le corrigé, cela me serait très utile en tant que maman. Merci d avance 

 

[Anna34]

Pour Lillou34

Je suis moi aussi dans l' Herault et moi aussi j'ai eu ce DM et je suis aussi en 5ème. Cette année c'est un nouveau professeur qui enseigne dans mon collège .

Je trouve qu'il aurait pu mettre un DM plus simple ...

Merci pour les corrections.

 

[Denis CAMUS]

Tu as plein d'indices maintenant pour résoudre ce problème. Si tu y arrives alors tu arriveras à faire tous les DM faciles.

[Boltzmann_Solver]

Le corrigé est plus à l'usage des profs pour leur montrer ce que j'attendais à l'époque. J'avais différentié la méthode des 5ème et celle des troisièmes (pour le lycée, c'est un exercice trivial). Pour un enfant, il risque d'être assez décourageant (sauf si votre enfant aime bien les maths).

Pour Anna. Ce devoir n'a pas pour objectif de valider une compétence du socle (même si l'ENS me fait plutôt rire en voulant faire passer cet exercice comme étant bien intégré au socle). Il vise à voir comment vous abordez un problème complexe (en groupe, seul, à taton, avec un raisonnement, etc...). Ce n'est pas tant la réponse qui importe que le comment vous y êtes arrivé. Ne dramatise pas ce genre d'exercices. Je te conseille de le prendre comme un jeu :). Amuse toi bien^^.

[ibarda59]

donc quel sont les calcules pour un chateau de 50 étages ? je suis en 4eme 

[Barbidoux]

Tu peux utiliser un tableur
dans A3 tu entres =A2+1
dans B3 tu entres =B2+3
dans C3 tu entres =C2+B3
Tu remplis (ou propage) le contenu des cellules A3, B3, C3  vers le bas

jusqu’à obtenir le cinquantième étage

[Sami20]

bonjour pouvez vous me donner la réponse de cet exercice:

9)Combien faut t'il de cartes pour faire un château de 1000 étages?

10)a. J'ai utilisé 30 135 cartes pour faires un château

est-ce-possible?

si oui, combien d'étages a ce château

 

 

 

[julesx]

Bonjour,

Il faudrait commencer par dire ce qu'il y avait dans les 8 questions précédentes ! Il doit sûrement y figurer des éléments permettant de répondre à ces questions, du style de ce qui a été donné dans les différents posts de ce fil.

[volcano47]

moi , ce que je fais(qui est absolument équivalent à ce qui a été dit), c'est compter le nombre de triangles, ça me parait plus simple :

1 étage => 1 triangle 

2 étages => 2 (base) +1 triangles

3 étages => 3 (base) +2 +1  triangles

.......................................................

n étages : n + (n-1) +....... + 3+2+1 = n (n+1) /2 car c'est la somme des n premiers entiers

Si on fait la convention que le rez-de* chaussée a un "sol", chaque triangle représente 3 cartes et le nombre de cartes pour n étages est 3n(n+1) /2 

Si (comme ici ) le RDC n'a pas de cartes au sol, on enlève n cartes au total pour un château de n étages.

EXEMPLE : pour 2000 étages 3x 2000 x 2001 /2 = 6003000 cartes avec "plancher" et 6001000 sans plancher (comme trouvé plus haut)