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Équations différentielles


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Bonjour à tous,

Une question me vient à propos des équations différentielles : on dit qu'elles sont un outil pertinent pour modéliser des phénomènes où la vitesse de variation (donc la dérivée) d'une grandeur dépend de la grandeur elle-même. y' = ky est ainsi une équation différentielle simple et on donne parfois comme exemple le cas de la croissance d'une population bactérienne qui double à chaque intervalle de temps donné. 

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Mais à part les fonctions linéaires, toutes les autres fonctions n'ont-elles pas aussi une dérivée qui dépend de la fonction elle-même ? Et pourtant on n'invoque pas pour autant les équations différentielles ! Si un véhicule accélère de façon non-uniforme, sa vitesse (donc la dérivée de sa position) sera fonction du temps mais aussi de sa position sur la piste, non ? 

Donc je ne vois pas vraiment la différence avec l'évolution exponentielle d'une population bactérienne : en quoi est-il significatif que le taux de variation en un temps t soit fonction de la taille de la population à cet instant ? Il est avant tout fonction de la variable en abscisse qui est ici le temps, non ?

Je suis un peu confus sur la spécificité des équations différentielles et aimerais bien un exemple de phénomène non-linéaire où l'usage des équations différentielles n'est pas pour autant pertinent.

Merci d'avance pour vos éclairages ! :) 

 

 

 

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  • E-Bahut

Bonsoir,

Loin de moi l'idée de répondre exactement à ton interrogation. Je te donne simplement mon point de vue.

Une équation différentielle est, comme son nom l'indique, une équation, donc une relation entre deux expressions qui peuvent être formées de différentes combinaisons de la fonction de départ et des dérivées de celles-ci. L'exemple le plus simple est celui que tu as donné.

La dérivée d'une fonction dépend bien sûr de la fonction de départ mais ce n'est qu'une expression, l'écriture f'(x)=... ne traduit en aucun cas une équation, seulement le résultat d'un calcul.

Attend bien sûr d'autres réactions.

 

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Bonjour,

"toutes les autres fonctions n'ont-elles pas aussi une dérivée qui dépend de la fonction elle-même ?"

Drôle de question, il va de soit que la dérivée d'une fonction (en précisant la variable de dérivation) dépend de la fonction ... encore faut-il que cette fonction soit dérivable dans la zone d'intérêt.

Il existe quand même des fonctions continues nulle part dérivables.

Dans de nombreux domaines des sciences (dont je ne suis pas spécialiste), on utilise des modèles avec des fractales ... qui sont des courbes continues sans tangentes.

... on en parle un peu ici :  https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_continue_nulle_part_dérivable
 
Quelques exemples de fractales dans la nature sur ce lien :

https://www.futura-sciences.com/sciences/dossiers/mathematiques-fractales-curiosite-mathematique-234/page/5/

Dans tous ces domaines, nécessitant des fractales pour les décrire, on ne peut pas utiliser des équations différentielles ... puisque ces "équations" ne sont "nulle part dérivables."

 

Mais je ne sais pas si cela va dans le sens de la question que tu te poses.

 

 

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Merci pour vos réponses !

Une manière de reformuler ma question serait de savoir ce que les phénomènes que modélisent les équations différentielles ont de particulier et qui justifie l'introduction de ce nouvel outil. 

Comment un prof de Terminale décrirait la spécificité du refroidissement d'un corps selon la loi de Newton (ou comme précédemment la croissance d'une population bactérienne) par rapport à d'autres phénomènes que les élèves ont rencontré plus tôt dans leur cursus ?

En général lorsqu'on introduit un nouvel outil mathématique, c'est parce que ceux dont on disposait jusqu'alors étaient insuffisants. Par exemple, il me semble assez aisé d'expliquer en quoi les outils de l'Analyse permettent de répondre à des questions qu'on ne peut résoudre avec les seuls outils de l'arithmétique, algèbre, géométrie classique, etc. 

Donc j'aimerais comprendre de la même manière pourquoi fondamentalement on introduit les équations différentielles. À quelles questions permettent-elles de répondre que les outils connus précédemment ne pouvaient résoudre ? Encore une fois la justification que je retrouve pas mal sur le net : "pour étudier des phénomènes où la vitesse de variation d'une grandeur dépend de la grandeur elle-même" ne me paraît pas très claire ni très spécifique.

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  • E-Bahut

Re-bonjour,

Suite, qui n'engage que moi...

Avant de s'intéresser aux équations différentielles, je pense qu'il faut repartir de la notion de dérivée.

Lorsque qu'un phénomène quelconque évolue, on caractérise cette évolution par sa variation en fonction du (ou des) paramètre(s) agissant sur son évolution. Dans ce qui suit, pour simplifier les écritures, je me limite au cas où le phénomène ne dépend que d’un seul paramètre.

Dans tous les cas, en principe, on peut représenter graphiquement l’évolution (ou l’enregistrer), et faire apparaître la vitesse de variation en traçant des tangentes à la courbe. Mais, si on dispose en plus d'un modèle mathématique pour décrire le phénomène, on peut alors introduire sa dérivée, fonction qui caractérise l’évolution par la variation de la grandeur rapportée à la variation du paramètre.

L’évolution, dans tous les cas, résulte d’une cause. Ici, on ne va considérer que le cas où on dispose de modèles mathématiques aussi bien pour l’effet que pour la cause. Les deux sont alors liés par une équation. Deux cas, (en particulier, il y a en a peut-être d’autres) peuvent se produire :

* La cause est indépendante du phénomène.

Dans ce cas la relation se réduit à une relation différentielle, l’effet étant une primitive de la la fonction cause. Le cas classique est la chute d’un corps en en tenant compte que de la pesanteur

dv/dt=g qui s’intègre en v=gt+v0.

* La cause prend en compte le phénomène.

On obtient alors une relation qu’on qualifie d’équation différentielle. Là encore, un cas classique est la décharge d’un condensateur C dans une résistance R, régi par -Cdv/dt=v/R qui conduit à RCdv/dt+v=0.

Voilà comment je vois la chose, mais, comme dit au départ...

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non mais la question posée était aussi : " pourquoi introduit on la notion d'équation différentielle ?"

C'est lorsque la fonction est inconnue mais qu'on connait seulement justement la relation qui existe avec la ou les dérivées. Et on est interessé par cette fonction qui permet de faire de la physique justement quantitative, c'est à dire prévisionnelle grâce aux "lois" mathématiques.

Par exemple : la loi du pendule (ou des forces de rappel proportionnelles à l'élongation)

On écarte le pendule simple d'un angle (supposé petit sinon le calcul est difficile). On n' a a priori aucune idée de la loi a(t)  (angle en fonction du temps) et voudrait bien la connaître. On fait le bilan des forces on voit que le couple de rappel est proportionnel à sina ~a ; on écrit le principe fondamental de la dynamique et hop ! la voilà notre équation différentielle : elle est venue toute seule ; et seule cette relation entre a et sa dérivée seconde /temps permet de trouver la loi a(t) .On recherche des équations différentielles comme on recherche une relation ou des relations quelconques  c'est à dire des équations reliant des grandeurs(mais non différentielles quand il n'y a pas de variations) dans beaucoup de cas. Ici les grandeurs sont reliées (dérivées , primitives) c'est tout.

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