Matrices

[Liixye]

Bonjour, je suis désolé pour le rendu mais c'est la première fois que je créé un sujet. Voilà j'avais commencé cet exercice mais je me suis vite rendu compte que je n'arrivais pas à le faire. Donc pouvez vous m'aider s'il vous plait ?

te.pdf st.pdf

[pzorba75]

Partie 1)

1) il suffit de redessiner le graphe en remplaçant p par 1, pareil pour la matrice de transition.

2) Tu fais les calculs avec une calculatrice dans A tu mets la matrice de transition 3*3, dans B sur mets [0,4, 0,5 0,1] et tu calcule B*T pour

avoir P1, tu conserves le résultat dans C et tu fais C*A pour avoir P2.

 

Quand tu seras arrivée à ce stade, tu pourras continuer seule et montrer ton travail. Je ne ferai pas le devoir à ta place à l'oeil même si tu dis ne rien comprendre.

[Liixye]

Je ne veux pas qu'on fasse le travail à ma place, je veux comprendre ce que je fais et ce que j'écris.

J'avais fais ce que vous avez dit pour la première question mais je pensais m'être tromper.

Merci pour vos explications, je le ferais demain et posterais ma réponse ici.

[Barbidoux]

Pour débuter.....

[Liixye]

Bonjour, merci barbidoux pour vos réponses.

J'ai fais la question numéro 4 du coup, pouvez vous me dire si c'est exact ou s'il fallait faire autre chose.

J'espère que vous arrivez à lire mon écriture.

 

[julesx]

Le calcul est correct, mais tu n'as pas utilisé la bonne démarche.

On admet que Q est inversible, ce n'est pas le résultat. Il faut évidemment commencer par calculer Q^-1 (il se trouve qu'ici, Q^-1 est égal à Q, mais c'est pur hasard).

Ensuite, tu calcules Q*D*Q^-1, et tu vérifies que tu retrouves bien S.

 

[Liixye]

Je vois, donc j'aurais juste à modifier la démarche pour que ce soit bon, merci !

Pouvez vous m'aidez à faire la suite de l'exercice ?

[julesx]

5) Pour P_n=P₀*Sⁿ, je ne vois que la récurrence :

P₁=P₀*S

P_n=P₀*Sⁿ

P_n+1=P_n*S=P₀*Sⁿ*S etc...

Pour Sⁿ=Q*Dⁿ*Q^-1, idem avec une récurrence ou en développant

Sⁿ=Q*D*Q^-1*Q*D*Q^-1*...*Q*D*Q^-1*Q*D*Q^-1 n produits successifs

Tous les Q*Q^-1intermédiaires valent I₃ et les produits de D par I₃ valent D, il reste donc finalement Sⁿ=Q*Dⁿ*Q^-1.

Je te laisse continuer ?

 

[Liixye]

Bon du coup voilà ce que ça donne pour la récurrence pour P_n et pour Sⁿ je le ferais en développant  je pense. Je demande encore un peu d'aide de votre part pour les questions 6 et 7 et ensuite je vous laisse tranquille !

[julesx]

C'est ça, sauf que tu es passée à A à la place de S. Donc à rectifier dans la rédaction. Attention également aux confusions entre n et 0 dans les indices.

6) P_n=P₀*Q*Dⁿ*Q^-1.

Comme D est une matrice diagonale, sa puissance n est celle des éléments de la diagonale, soit

Dⁿ=

(1 0 0

0 1/2ⁿ 0

0 0 0)

où j'ai évidemment remplacé 1ⁿ par 1.

Par contre, pour le produit Q*Dⁿ*Q^-1 je te laisse faire.

7) Pour la convergence, tu fais tendre n vers l'infini dans l'expression précédente et tu remplaces P₀ par [P_AA P_Aa P_aa] sachant que P_AA+P_Aa+P_aa=1.

[Liixye]

Merci beaucoup à vous pour votre aide !

[julesx]

De rien, tu essaies de faire la deuxième partie ?

[Liixye]

J'ai pris exemple sur la première partie pour la faire et terminer mon devoir.

[julesx]

OK, bonne continuation.

[biggy2710]

Bonjour à tous ! 

Pourriez-vous m'expliquer pourquoi, à la question 3, des moins apparaissent ? Comment cela se fait-il que ce ne soit pas (PAA*+PAa*/2   PAa*/2-Paa*    0) ? 

Merci par avance !

 

[Barbidoux]

Coquille, il faut lire +

[biggy2710]

Ok super ! merci pour la réponse rapide, barbidoux, 

Je comprenais la résolution quand il y avait des moins car ça donnait PAA*-PAa*/2 + PAa*/2 - Paa* + 0 = 1

ce qui donnait directement Paa = 0

et donc PAA*-PAa*/2 + PAa*/2 = 1, avec les deux PAa*/2 qui s'annulent 

les deux PAA* = 1 et donc PAa = 0 ce qui explique le (1 0 0 )

Comment fait-on du coup pour résoudre PAA*+PAa*/2 + PAa*/2+Paa* + 0 = 1 <=> PAA*+PAa* + 0 = 1 alors ? 

Merci d'avance ! 

[Barbidoux]

(Je laisse tomber les *). On a |P_AA, P_Aa, P_aa|=|P_AA+P_Aa/2, P_Aa/2+P_aa, 0| avec P_AA+P_Aa+P_aa=1, ce qui revient qui système d'équation 
P_AA=P_AA+P_Aa/2, 
P_Aa=P_Aa/2+P_aa
P_aa =  0
dont on déduit que  P_Aa =P_aa=0 et comme
P_AA+P_Aa+P_aa=1, ==> P_AA=1

 

[biggy2710]

merci !