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biggy2710

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  1. biggy2710

    Matrice et arithmétique

    Merci beaucoup Barbidoux ! Serait-il possible d'avoir des pistes / de l'aide pour la partie 3 ? Partie 3 1) En remarquant que A^(n+k) = A^n * A^k, montrer que pour tout entier naturels net k, n étant non nul, a(n+k) = a(k+1)a(n) + 2a(k)a(n-1) 2) en déduire que pour tout entier naturel n, a(n) divise a(2n) et a(3n) 3) Montrer que a(24) est divisible par 15015 = 3X5X7X11X13 Merci par avance
  2. Bonjour à tous Je suis en train d'étudier les matrices et leurs applications. L'exercice que je dois faire est un cas pratique qui sort de tous ce que j'ai rencontré : ça fait 3h que je suis dessus et je ne sais pas comment faire : il y a beaucoup (trop) d'équations et je suis perdu Voici le sujet Pour la question avant première partie, j'ai étudié les variation de f(x) Partie 1 : je n'arrive pas à utiliser un tableur pour calculer des suites de dimension 2 et donc toute la partie 1 m'est infaisable... Partie 2 : 1) est-ce qu'on est censé montrer que les deux couples marchent, ou exprimer le système qu'il nous donnent d'une telle façon qu'il apparaisse clairement que seulement ces deux couples sont les solutions (aucune idée comment faire si c'est cette solution...) à partie de 2.2, je suis complètement paumé... Merci infiniment à celles et ceux qui pourront m'aider Bonne soirée !
  3. Bonjour à tous Je suis en train de travailler les matrices et j'ai un problème avec un exercice : l'énoncé nous fait changer plein de fois de variables et je ne m'y retrouve plus, d'autant plus que là où j'ai rencontré de exemple avec des chiffres, je crois, d'après ce que j'ai compris, qu'il faut faire l'exercice de façon théorique avec des lettres et je bloques niveau méthode : bref : je vous serais très reconnaissant si vous pouviez m'aider... (les ( ) après les lettres u v indiquent les indices... ) Soit une matrice réelle 1 et de forme A = ( a b 0. a) On écrit A = aI = bN avec N = (0 1 0. 0) 1 Montrer que pour tout entier naturel n, A^n = a^nI + na^(n-1)bN (ça c'est bon) 2 On considère le système suivant u(0) = 10, v(0) = 1 pour tout n de N, u(n+1) = 0,5u(n) -v(n) +3 pour tout n de N, v(n+1) = 0,5v(n) -1 a) Ecrire ce système sous forme matricielle - X(0) donné - pour tout n de N, X(n+1) = AX(n) +B j'ai répondu : X(n+1) = AX(n) +B avec A : (0,5 -1 B (3 0 1) -1) b) montrer qu'il existe un vecteur X* constant tel que X* = AX* + B; Déterminer ce vecteur C'est là que j'ai du mal X* = AX*+B <-> X* - AX* = B <-> X*(I-A) = B <-> X* = (I-A)B et je suis coincé (d'autant plus que je ne sais pas comme on montre qu'il existe un vecteur X* constant c) pour tout n de N, on pose Un = Xn -X* Montrer que pour tout n de N, U(n+1) = AU(n). En déduire que pour tout n de N, Un = A^nU(0) ca c'est bon aussi d) Déterminer une expression de chacune des suites u(n) et v(n) pas faisable sans b. e) Etudier la limite de ces suites Merci d'avance à tous ceux qui pourront m'aider ! Bonne soirée !
  4. Bonjour à tous ! J'ai un exercice à faire en arithmétique qui utilise les suites et les matrices : je suis complètement perdu. J'apprécierais vraiment votre aide.... Voici le sujet (NB les () suivant les a indique les indices ; j'ai noté les parenthèses des matrices ( a b c d ) On considère la suite (a n) définie par a0 : 0 et a1 : 1 et pour tout n de N, a(n+2) = a3(n+1) + 2an Partie 1 1)Calculer les 9 premiers termes de la suite (an) et donner les décompositions en produit de facteurs premiers de a6 et de a8 2) Soit A la matrice définie par : A ( 3 2 1 0 ) Justifier que pour tout n de N, (an+2 =. A (an+1 an+1) an) 3) montrer par récurrence que pour tout n de N* A^n = (a(n+1) 2an an 2a(n-1)) Partie 2. On rappelle que det (a b = ad-bc et on admet que pour tout n de N, det (A^n) = (detA)^n c d) 1) Montrer que pour tout n de N* a(n+1)a(n-1)-a(n)^2 = -(-2)^(n-1) 2) en déduire que, pour tout n de N*, si d est diviseur de an et a(n+1), alors d est une puissance de 2 puise que an et a(n+1) sont premiers entre eux Partie 3 1) En remarquant que A^(n+k) = A^n * A^k, montrer que pour tout entier naturels net k, n étant non nul, a(n+k) = a(k+1)a(n) + 2a(k)a(n-1) 2) en déduire que pour tout entier naturel n, a(n) divise a(2n) et a (3n) 3) Montrer que a(24) est divisible par 15015 = 3X5X7X11X13 Voici ce que j'ai fait Partie 1 a0 = 0 a1 = 1 a2 = 3 a3 = 11 a4 = 39 a5 = 139 a6 = 495 a7 = 1763 a8 = 6279 a9 = 22363 a6 = 3^2 X5X11 a8 = 3X7X11X23 1)2 et 1)3 pas de soucis Partie 2 : 1) det(A^n) =(ad-bc)^n <-> 2a(n+1)a(n-1)-2a(n)*a(n) =(3*O-2*1)^n <-> 2(a(n+1)a(n-1)-a(n)^2) = (-2)^n <->a(n+1)a(n-1)-a(n)^2 = (-2)^^(n-1) Je ne comprends pas pourquoi il est censé y avoir un - dans "-(-2)^(n-1) 2) Soit b= a(n) et r = a(n+1) et a = -(-2)^(n-1) Si d est un diviseur de b et de r, alors d divise a = bq +r. Il divise donc -(-2)^(n-1) Or -(-2)^(n-1), 2 étant premier, ne peut être divisé que par des puissances de 2 ou par 1. d est donc une puissance de 2 Je bloque également complètement pour la partie 3 Merci énormément par avance
  5. biggy2710

    Matrices

    merci !
  6. biggy2710

    Matrices

    Ok super ! merci pour la réponse rapide, barbidoux, Je comprenais la résolution quand il y avait des moins car ça donnait PAA*-PAa*/2 + PAa*/2 - Paa* + 0 = 1 ce qui donnait directement Paa = 0 et donc PAA*-PAa*/2 + PAa*/2 = 1, avec les deux PAa*/2 qui s'annulent les deux PAA* = 1 et donc PAa = 0 ce qui explique le (1 0 0 ) Comment fait-on du coup pour résoudre PAA*+PAa*/2 + PAa*/2+Paa* + 0 = 1 <=> PAA*+PAa* + 0 = 1 alors ? Merci d'avance !
  7. biggy2710

    Matrices

    Bonjour à tous ! Pourriez-vous m'expliquer pourquoi, à la question 3, des moins apparaissent ? Comment cela se fait-il que ce ne soit pas (PAA*+PAa*/2 PAa*/2-Paa* 0) ? Merci par avance !
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