Log népérien et inéquations

[PauPaul]

Bonjour, 

Je bloque sur la question 3, je pense avoir la bonne démarche mais il doit me manquer quelque chose :

1. Montrer que pour tout u > -1, ln(1+u)  u 

2. Monter que si x > 1, -x/(1+x) > -1 

3. En appliquant l'inégalité de la question 1, monter que pour tout x > -1, 

4. En déduire que pour tout entier naturel k non nul, 

 

[pzorba75]

Pour la 3, remplace u par -x/(1+x) dans l'inéquation 1.

[PauPaul]

Bonjour

ça j'avais bien compris, ça nous donne ln(-x/(1+x)+1)   -x/(1+x)

 

C'est après que je vois pas comment passer de ln(-x/(1+x)+1) à ln(x+1)

[Barbidoux]

1-------------
La jonction f(u)=u-ln(u+1) définie sur ]-1 ∞[ sa dérivée f'(u)=1-1/(u+1) est positive sur l'intervalle de définition de la fonction et la fonction f(u) est croissante. Comme f(0)=0 on en déduit que f(u) ≥0 sur son intervalle de définition ce qui signifie que u-ln(u+1)≥ 0 ==> ln(u+1) ≤ u pour tout u>-1
2-------------
on pose u=x avec x>-1
0>-1
-x≥-x
-x≥-x-1 ==> -x≥-(x+1)
x>-1 ==> 1+x >0 et -x/(1+x)≥-1
3-------------
on pose u=-x/(x+1)
u-ln(u+1)≥0 ==> -x/(x+1)-ln(-x/(x+1)+1)≥0 ==> -ln(1/(x+1))≥x/(x+1) ==> ln(x+1)≥x/(x+1)
4-------------
ln(u+1) ≤ u
on pose u=1/k ==> ln(1/k+1) ≤ 1/k ==> ln((1+k)/k) ≤ 1/k ==> ln(1+k) - ln(k)≤ 1/k
---------
x/(x+1)≤ ln(x+1)
on pose x=1/k ==> (1/k)/(1/k+1)≤ ln(1/k+1) ==>1/(k+1) ≤ ln((k+1)/k)  ==>1/(k+1) ≤ ln(k+1)-ln(k)
et finalement :
1/(k+1) ≤ ln(k+1)-ln(k) ≤ 1/k

 

[julesx]

Bonsoir Barbidoux,

Juste un point de détail, sur ]-1;0[ la dérivée f'(u)=1-1/(u+1) est négative. Ça ne change évidemment rien au résultat.

[Barbidoux]

Il y a 2 heures, julesx a dit :

Bonsoir Barbidoux,

Juste un point de détail, sur ]-1;0[ la dérivée f'(u)=1-1/(u+1) est négative. Ça ne change évidemment rien au résultat.

exact une partie du texte sélectionné et remplacé  lors d'une correction a été ... annulé par erreur de manipulation au clavier. J'ai copié collé l'ensemble sans relire et il est resté " est positive sur l'intervalle de définition de la fonction et la fonction f(u) est croissante. " en lieu est place de " est négative sur]-1,0] positive ensuite. f(u) passe par un minimum pour x=0 ."