Fonction cubique et symétrie

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous, je suis à la recherche d'une démonstration du fait que le point d'inflexion d'une fonction cubique soit aussi centre de symétrie de sa courbe.

J'ai trouvé l'explication suivante sur Wiki mais je ne la comprends pas très bien : 

Premièrement, je ne vois pas d'où vient  et deuxièmement , je ne sais pas comment intégrer cette expression...

Toute aide serait vivement appréciée  

[pzorba75]

Pour obtenir f'', il faut dériver f'. Tout simplement. 

[julesx]

f"(x)=6ax+2b

x0=-b/(3a)

=>

f"(x0+h)=6ah après simplification.

Ensuite on intègre 2 fois de 0 à h pour obtenir f(x0+h)-y0=ah³+hf'(x0).

La fonction est symétrique par rapport au point d'inflexion si f(x0+h)+f(x0-h)=2*f(x0) soit  f(x0+h)+f(x0-h)=2*y0 soit encore f(x0+h)-y0=-[f(x0-h)-y0]

Comme f(x0+h)-y0 est une fonction de la variable h, on interprète le résultat précédent en disant que cette fonction est impaire et on fait la démarche inverse en partant de f"(x0+h) et en constatant qu'on obtient bien une fonction impaire pour f(x0+h)-y0.

 

Bon, moi, je ne suis pas totalement convaincu, mais je ne suis pas spécialiste. Par contre, j'ai fait un essai avec un logiciel de calcul formel, en partant de f(x)=ax³+bx²+cx+d et de x0=-b/(3a) et en calculant les trois termes f(x0), f(x0+h) et f(x0-h). On vérifie bien que f(x0)=[f(x0+h)+f(x0-h)]/2.

 

 

[Barbidoux]

La dérivée seconde de f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d s’annule pour -b/(3*a).
En posant X=x-b/(3*a) et Y=y+ f(-b/(3*a)) on obtient Y=a*X^3+X*(c-b^2/(3*a)) qui est l’expression d’une fonction impaire (f(-X)= -f(X)) de X  dont le graphe est symétrique par rapport à l'origine (système d'axe d'origine  {-b/(3*a); f{-b/(3*a)}) ce qui démontre que le point d'inflexion de coordonnées {-b/(3*a); f{-b/(3*a)}) est un centre de symétrie pour f(x).

[C8H10N4O2]

Il y a 4 heures, Barbidoux a dit :

La dérivée seconde de f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d s’annule pour -b/(3*a).
En posant X=x-b/(3*a) et Y=y+ f(-b/(3*a)) on obtient Y=a*X^3+X*(c-b^2/(3*a)) qui est l’expression d’une fonction impaire (f(-X)= -f(X)) de X  dont le graphe est symétrique par rapport à l'origine (système d'axe d'origine  {-b/(3*a); f{-b/(3*a)}) ce qui démontre que le point d'inflexion de coordonnées {-b/(3*a); f{-b/(3*a)}) est un centre de symétrie pour f(x).

Oui je connaissais cette démonstration par translation des axes, mais la formulation de celle proposée sur Wikipedia étant différente, je souhaitais en savoir plus...

Il y a 4 heures, julesx a dit :

f"(x)=6ax+2b

x0=-b/(3a)

=>

f"(x0+h)=6ah après simplification.

Ensuite on intègre 2 fois de 0 à h pour obtenir f(x0+h)-y0=ah³+hf'(x0).

La fonction est symétrique par rapport au point d'inflexion si f(x0+h)+f(x0-h)=2*f(x0) soit  f(x0+h)+f(x0-h)=2*y0 soit encore f(x0+h)-y0=-[f(x0-h)-y0]

Comme f(x0+h)-y0 est une fonction de la variable h, on interprète le résultat précédent en disant que cette fonction est impaire et on fait la démarche inverse en partant de f"(x0+h) et en constatant qu'on obtient bien une fonction impaire pour f(x0+h)-y0.

 

Bon, moi, je ne suis pas totalement convaincu, mais je ne suis pas spécialiste. Par contre, j'ai fait un essai avec un logiciel de calcul formel, en partant de f(x)=ax³+bx²+cx+d et de x0=-b/(3a) et en calculant les trois termes f(x0), f(x0+h) et f(x0-h). On vérifie bien que f(x0)=[f(x0+h)+f(x0-h)]/2.

 

 

Merci pour ces éléments de réponse