Fonctions dérivées

[Unknown_]

Bonjour, j'ai un probleme de maths sur les fonctions dérivées (ci-joint) et je suis vraiment perdu a partir du 3) Vitesse instantanée de la fusée.
J'ai déjà répondu au 1) et au 2), je vous met les reponses ci-dessous :

1) a) j'ai fait un tableau de variations.
b) Avec le tableau, j'ai trouvé que f admet pour maximum 50 qui est atteint a la valeur 1 de t.

2) j'ai trouvé 2,290 en valeur approché

Voila si vous pouviez m'aider je vous serait très reconnaissant.

[PAVE]

Bonjour,

Je trouve comme toi pour les questions 1 et 2.

pour la 3) as tu fait le "lien avec l'activité faite au début du chapitre"...

perso, je n'ai pas fait l'activité donc je fais appel à mes souvenirs de jeunesse .

La vitesse instantanée, n'est autre que la limite de h/t quand t tend vers 0 ( variation de hauteur  sur variation de temps !!) ; cela ressemble bien à la définition de la dérivée de f...

Ensuite trouver l'équation de la tangente en un point de Cf est classical !! Tu connais le coefficient directeur et un point (le point de tangence).... facile !!

Bon sens : au départ, l'impulsion de l'explosion donne une certaine "vitesse" à la fusée. En prenant de l'altitude, la vitesse va décroître. Quand cette vitesse sera nulle, la fusée va repartir dans l'autre "sens", puis perdre de l'altitude et en chutant aller de plus en plus vite...

Un graphique pour VERIFIER tes résultats.

[julesx]

Moi, il y a juste une question que je me pose. Est-ce qu'on considère que le déplacement de la fusée est vertical ? Si oui, comment peut-elle partir du sommet d'un immeuble et atterrir sur le sol ? Et si le déplacement n'est pas vertical, la vitesse instantanée a deux composantes...

[PAVE]

Bonne remarque, Jules. L'énoncé précise que f est la hauteur de la fusée en fonction du temps... la courbe Cf n'est pas la trajectoire de la fusée (sans titres sur les axes ma courbe est ambiguë ). Donc  a priori, déplacement vertical : la fusée repasse par son point de départ, écrabouille le lanceur, et passant par des trappes successives ouvertes à chaque étage, vient s'écraser sur le sol au rez de chaussée.

Cinéma  tic !! 

 

 

 

[Unknown_]

Merci a vous je pense avoir mieux compris mon exercice cependant un dernière chose me derange, est ce que le h de la formule tel qu'on l'apprends en cours: f(a+h)-f(a)÷h doit être remplacé par t ?

[volcano47]

d'où l'inconvénient d'apprendre des "formules" au lieu de comprendre ce qu'elles signifient. 

f(a+h) , c'est la même chose que f(x+h) ou f(t+h) ou f(t+t) du moment qu'on définit les lettres. Ici on considère une fonction du temps donc il est plus facile d'écrire t, mais les définitions du taux d'accroissement et de la dérivée d'une fonction sont les mêmes . Le taux d'accroissement est défini par : 

variation algébrique des valeurs de la fonction / variation algébrique de la variable (lorsque la variable passe de a à  a+ h)

C'est cela qu'on note  ( f(a+h) - f(a)  ) / h  .  Algébrique signifie qu'il y a un signe et donc que ce quotient est positif ou négatif

Souvent on note a   l'accroissement h de la variable a (ou autre). Et lorsque h -----> 0 le taux d'accroissement ci-dessus tends vers la valeur de la dérivée au point (a, f(a)) par définition de la dérivée (voir cours) . En mécanique , la dérivée en un point  est la vitesse (longueur divisée par durée) .

 

[Unknown_]

J'ai utilise la formule f(t+h)-f(t)÷h et je trouve 70, j'ai bon ? 

[julesx]

C'est faux, mais pourquoi tu n'utilises pas tout simplement l'expression de la dérivée f' trouvée au 3a) ? As-tu fait le lien avec l'activité faite au début du chapitre ?

[Unknown_]

Pour la 3a) j'ai trouve que f'(a)=1 mais je ne sais pas si c'est vraiment ça et pour l'activite qu'on a faites en debut de chapitre, je ne vois pas vraiment de rapport avec cet exercice là

[julesx]

f'(a) est faux. Il faut dériver f(t) par rapport à t pour obtenir l'expression de f'(t). Ensuite, seulement, tu remplaces t par a.

Quant à l'activité, comme on ne sait pas en quoi elle a consisté, on ne peut rien faire pour toi.

[PAVE]

Il me semble utile de faire le point...

Dans le déroulement du cours,

1) dans un premier temps, on apprend à calculer le nombre dérivé d'une fonction en a (a est un nombre) .

Pour cela on utilise le rapport :

[f(a+h)- f(a)] / h 

puis on cherche la limite de ce quotient quand h tend vers 0. La valeur de cette limite est notée f '(a) ; c'est le nombre dérivé de f en a (on voit aussi que ce nombre est le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe C_f représentative de f au point d'abscisse a)

Ce calcul est assez long....

2) dans un deuxième temps, on se simplifie la vie et les calculs en généralisant la recherche précédente du nombre f '(a) . On établit l'expression générale de la fonction dérivée de f, notée f ' qui à x fait correspondre f '(x).

Exemple si f(t) = x² alors f '(x) = 2x (c'est du cours) et donc quel que soit a, f '(a) = 2a ou f '(5) = 2*5 = 10

Sauf cas très particulier, on n'utilise plus la première méthode...

Est-ce clair ?

[PAVE]

première approche

à l'instant t= 1

f(1+h) = -30(1+h)²+60(1+h) +20 = -30[1+2h+h²]+60(1+h) +20 = -30-60h-30h² +60 +60h +20 =   -30h²+50                                                           

f(1) = -30+60+20 =50

d'où 

[f(1+h) - f(1)] /h = [-30h²+50-50] / h = -30h²/h = -30h or quand h tend vers 0, -30h tend vers 0

donc f '(1) = 0 (NB la tangente à Cf au point d'abscisse 1 a 0 comme coefficient directeur => tangente "horizontale")

Si cela t'amuse, tu peux calculer par cette méthode f '(2) puis f '(2,90) etc.... moi je ne fais pas !! j'ai plus rapide !!!

deuxième méthode

Je sais dériver une fonction polynôme f telle que f(t) =-30t² +60t +20.

f '(t) = -30*(2t) +60*1+0 (c'est du cours )

f '(t) = -60t +60

d'où f '(1) = -60*1+60 = 0 

pour f '(2) = -60*2+60 = -60 etc....

 

[julesx]

Il y a 15 heures, PAVE a dit :

1) dans un premier temps, on apprend à calculer le nombre dérivé d'une fonction en a (a est un nombre) .

Pour cela on utilise le rapport :

[f(a+h)- f(a)] / h 

puis on cherche la limite de ce quotient quand h tend vers 0. La valeur de cette limite est notée f '(a) ; c'est le nombre dérivé de f en a (on voit aussi que ce nombre est le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe C_f représentative de f au point d'abscisse a)

C'est peut-être ce qu'on attend dans la question 3a). Dans ce cas, on peut éventuellement simplifier un peu le calcul en regroupant les termes de même degré dans la différence f(a+h)-f(a):

f(a+h)-f(a)=-30*(a+h)²+60*(a+h)+20-[-30*a²+60*a+20]

-30(a+h)²+30a²=-60ah-30h²

60(a+h)-60a=60h

20-20=0

Mais ce que j'en dis...