Géométrie et fonction de référence

[Lolote2002]

Bonjour, me revoilà avec un devoir maison pour les vacances j'aurai besoin de votre aide pour savoir si mes méthodes de résolution sont bonnes selon les questions et comment procéder pour certaines.

Exercice 1

ABCD est un carré de côté 4 cm et de centre O.

M est un point qui part de A et parcours le carré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

x est la distance parcourue par le point M.

f est la fonction qui à x associe la longueur OM.

1) on suppose d'abord que M appartient à [AB]

1. A quel intervalle I appartient x ? x appartient à [0;4]
2. Montrer qu'alors f(x) = (x-2)² +4 j'ai trouvé
3. Etudier les variations de f sur l'intervalle I.  x - 2 --> (x - 2)² --> (x - 2)² + 4 --> (x - 2)² +4  on fait un tableau de variation

2) Cas général

1. Etudier les variations de f lorsque M décrit tout le carré je ne vois pas ce que veut dire "décrit". Est-ce le point M qui continue sur la longueur [BC] puis [CD] et [DA] ?

Exercice 2

On considère la fonction f définie sur ]-;11;+[ par f(x) = (1-2x)/(1-x) et H sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; i; j)

1. Déterminer les nombres a et b tels que f(x) = a + (b)/(1-x) (1-2x)/(1-x) = (1)/(1-x) - (2x)/(1-x) ?

En déduire les variations de f sur ]-;1[ et sur ]1;+[     (1-2x)/(1-x) => 1-2x --> (1-2x)/(1-x) on fais un tableau de variation et normalement la variation va vers le haut ? on considère la famille des droites d_m d'équation réduite s + y + m = 0 pour m un réel quelconque.

Voici deus affirmations, dire si elles sont vraies ou fausses, justifier.

• Affirmation 1 :

Touts les droites d_m sont parrallèles on essaye avec différentes valeurs de m et on résout un système d'équation

• Affirmation 2 :

Quelque soit la valeur de m, la droite et l'hyperbole H sont sécantes même façon que la première affirmation mais le système d'équation se résout avec H.

Merci d'avance pour le coup de pouce

[Barbidoux]

il y a 52 minutes, Lolote2002 a dit :

Bonjour, me revoilà avec un devoir maison pour les vacances j'aurai besoin de votre aide pour savoir si mes méthodes de résolution sont bonnes selon les questions et comment procéder pour certaines.

Exercice 1

ABCD est un carré de côté 4 cm et de centre O.

M est un point qui part de A et parcours le carré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

x est la distance parcourue par le point M.

f est la fonction qui à x associe la longueur OM.

1) on suppose d'abord que M appartient à [AB]

1. A quel intervalle I appartient x ? x appartient à [0;4]Ok
2. Montrer qu'alors f(x) = ((x-2)² +4)  manque de parenthèses
3. Etudier les variations de f sur l'intervalle I.  Il te faut dériver la fonction étudier le signe de la dérivée et faire un tableau de variation

2) Cas général

1. Etudier les variations de f lorsque M décrit tout le carré attention l'expression  de la fonction f(x) n'est plus la même sur les intervalle [4,8] , [8,12], [12,16]. Sur l'intervalle [8,12] son expression est f(x)=√((x-6)^2+4) et tu dois retrouver les mêmes variations que sur l'intervalle [0,4]

Exercice 2

On considère la fonction f définie sur ]-;11;+[ par f(x) = (1-2x)/(1-x) et H sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; i; j)

1. Déterminer les nombres a et b tels que f(x) = a + (b)/(1-x) ==> écris f(x)=(1-x-x)/(1-x)=....

En déduire les variations de f sur ]-;1[ et sur ]1;+[ 

Il te faut dériver la fonction étudier le signe de la dérivée. Fonction uniformément décroissante sur son intervalle de definition. Etudie les limites (asymtote y=2)

  on considère la famille des droites d_m d'équation réduite s + y + m = 0 pour m un réel quelconque.   c'est bien y+m=0?  

Voici deus affirmations, dire si elles sont vraies ou fausses, justifier.

• Affirmation 1 :

Touts les droites d_m sont parrallèles   vrai si l'équation est y+m=0 avec m cst

• Affirmation 2 :

Quelque soit la valeur de m, la droite et l'hyperbole H sont sécantes

faux m=-2 correspond à l'asymptote de l'hyperbole H

 

[Lolote2002]

Bonjour !!

Alors voilà ce que je trouve :

EX1 1) 3. x² - 4x + 8 ---> = -16 ---> pas de solution donc x_____________________0___________4_________         

                                                                                                    signe de x² - 4x + 8___             +                                a>0

x____________________________0____________________4____

variation de x² - 4x + 8______      flèche vers le haut       a>0

variation de (x² - 4x +8)____   flèche vers le haut        f et f ont le même sens de variation

2) (x-6)² + 4 = x² - 12x + 40

= -16  on trouve donc le même résultat et la même variation que f(x)

EX2 1) (1-x-x)/(1-x) = (1-x)/(1-x) - x/(1-x) = 1 - x/(1-x) donc a=1 et b=? peut-être 1?

alpha= b/2a = 1/2  et =-1/2 (je ne trouve pas des résultats concordants aux vôtres)

Affirmation 1:  Non ce n'est pas y + m = 0 mais x + y + m = 0 désolé

Affirmation 2:  j'ai compris le résonnement merci

[julesx]

Exercice 1

Comme tu parles de fonctions de références, je suppose que, cf. ton premier post, pour M sur [AB], tu as fait un tableau des croissances successives des éléments que tu as cités. Tu dois trouver que f(x) décroit de 2√2 à 2 sur [0;2] puis croit de 2 à 2√2 sur [2;4].

Dans la question 2), il faut envisager les 3 cas suivants

* M sur [BC]

x varie entre 4 et 8

 f(x)=√[((x-4)-2)²+4] soit f(x)=√[(x-6)²+4]

f(x) décroit de 2√2 à 2 sur [4;6] puis croit de 2 à 2√2 sur [6;8].

* M sur [CD]

x varie entre 8 et 12

 f(x)=√[((x-8)-2)²+4] soit f(x)=√[(x-10)²+4]

f(x) décroit de 2√2 à 2 sur [8;10] puis croit de 2 à 2√2 sur [10;12].

* M sur [DA]

Je te laisse terminer.

Exercice 2

1) Tu as trouvé que f(x)=1-x(1-x) donc, cf. énoncé, a=1 et b=-1.

Pour les variations, tu travailles de même en termes de fonctions de référence pour trouver que f(x) décroit sur chacun des deux intervalles.

2) Affirmation 1

Toutes les droites d_m sont parallèles car elles ont même vecteur directeur de coordonnées (-1;1).

Affirmation 2

Il faut regarder si le système formé par l'équation de l'hyperbole et celle des droites d_m a une solution quel que soit m.

 

 

[Lolote2002]

Pour l'exercice 2 1) je connais la fonction de référence inverse x-->1/x mais ici le dénominateur est 1-x donc x_____- ___________1

                                                                                                                                                                                                -x_______ flèche vers le bas

                                                                                                                                                                                                -x/x_______  flèche vers le bas

                                                                                                                                                                                                 -x/x + -x/1____  reviens à la même ?

j'ai du mal à comprendre 

Pour la 3)

0= x + y + m

0= 1 + (-x)/(1-x)

j'ai un y dans l'équation de l'hyperbole mais pas dans celle de f(x) de plus j'ai un m qui s'ajoute, comment trouver des solutions de m donc ?

je pourrai tenter d'égaliser les x en multipliant l'un par l'autre mais le y me gênera toujours pour trouver m....

 

[julesx]

Pour l'exercice 1, je me suis laissé embarquer par les posts précédents. En fait, (1-2x)/(1-x)=2-1/(1-x) soit a=2 et b=-1 .

Donc, tu as la fonction de référence 1/(1-x) dont tu connais les variations, ou tu les déduis de celles de 1/x moyennant un décalage, que tu combines avec le signe - et le décalage de 2.

Pour l'exercice 2, il faut  écrire l'équation de la droite sous la forme  y=-x-m.

Ensuite, le système que j'évoquais se traduit par

(1-2x)/(1-x)=-x-m

soit 1-2x=-(x+m)*(1-x)

Je te laisse continuer et voir qu'il s'agit d'une équation du 2ème degré qui n'a de solutions que pour certaines valeurs de m.

Par contre, vu l'heure, ce sera tout pour ce soir. Mais si un autre intervenant veut prendre le relais, qu'il n'hésite pas.

[pzorba75]

1-2x=-(x+m)*(1-x), en développant tu obtiendras une équation du second degré en x, qui admet des solutions si, et seulement si, son discriminent est positif ou nul. Alors, développe, ordonne, calcule le discriminent et détermine son signe (en fonction de m) pour conclure.

Au travail.

[Lolote2002]

Voilà ce que j'ai trouvé !!

Affirmation 2:

1 - 2x = -x + m + x² - mx

(1 - 2x + x - x² )/x = 0

= 5

x₁ = -(1 + 5)/2

x₂ = (-1 + 5)/2

x___________-____x₁ ____ 0 _____x₂ __________+

-x² - x + 1___         --   ()   +    []    +     ()       -     

x0 et a 2 valeurs donc l'affirmation est vrai

Pour le 1) je ne comprend pas comment vous passer le 2 de l'autre cote?

[Lolote2002]

c'est bon j'ai enfin compris le 1)  je trouve bien a=2 et b=-1

 

[julesx]

 

OK pour le 1)

2) Pour l'affirmation 2, il faut évaluer ∆ en fonction de m :

1-2x=-(x+m)*(1-x) => x²+(m+1)x-m-1=0

∆=(m+1)²+4(m+1)=m²+6m+5

Pour qu'il y ait toujours intersection, il faut que ∆ soit positif quel que soit m. Est-ce le cas ?

[Lolote2002]

= 6² -4*1*5 =16 

x₁ = -5

x₂ = -1 

donc non il n'est pas toujours positif l'affirmation est donc fausse

 

[julesx]

En effet, il n'y a pas d'intersection pour m compris entre -5 et -1.