devoir type terminale

[sarah nounette]

Exercice 3 (5,5 points)

Soit (U_n) la suite définie par U₀=3 et U_n+1=(5un+1)/(Un+5) pour tout n superieur ou egal a 0

 1. Étudier les variations de la fonction f définie sur( 0; +∞ ( par f(x)=(5x+1)/(x+5)

 2. a) Dans le plan rapporté à un repère othonormé, on dispose ci-après de la représentation graphique de la fonction f. En laissant apparent les traits de construction, construire en abscisse les quatre premiers termes de la suite (U_n) .

b) Que peut-on conjecturer quant au sens de variation et à l’éventuelle convergence de la suite (U_n)

3. a) Démontrer, par récurrence, que pour tout n de N, 0 ≤U_n+1≤ U_n≤3

b) Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (U_n) ?

4. Soit (V_n) la suite définie par V_n=(Un-1)/(U_n+1)  pour n ≥ 0

a) Montrer que (V_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b) Pour tout n≥0  exprimer U_n en fonction de V_n

c) Déterminer la limite de la suite( V_n )puis conclure quant à la limite de (U_n)

Exercice 4 (4 points)
Soit (U_n) la suite définie par
U_n=∑n/(n²+k)=n/(n²+1)+n/(n²+2)+....+n/(n²+n)

1. Quel est le plus petit des n termes de la somme définissant (U_n)? Le plus grand ?

2. En déduire un encadrement de (U_n)puis lim →+∞ U_n
3. On dispose de l’algorithme ci-dessous.

N ←1

S ←0,5

Tant que S > 1,01 ou S < 0,99
 N ←N+1

  S ← 0

  Pour K de 1 à N
 S←S+ ((N)/(N²+K))
 Fin de la boucle Pour

Fin du Tant que

Afficher N

a)  Que fait l’algorithme ci-dessus ? Autrement dit, que représente le nombre obtenu en sortie ? Pourquoi peut-on affirmer que la boucle « tant que » ne tourne pas indéfiniment ?

b) À l’aide de la calculatrice, déterminer le nombre renvoyé par l’algorithme

j ai essayer de faire ces deux exercices mais j ai pas reussi est ce que quelqu un pourrait m aider merci

[pzorba75]

1)  Pour étudier les variations de f, il faut obtenir f' et déterminer le signe de f'(x). 

Tu dois trouver : f croissante sur ]-5,+infini[ de -infini à 5 donc pour tout x f(x)<5.

2)

a) f est une branche d'hyperbole .

b) Conjecture : (u_n) tend vers 1, abscisse de l'intersection de la droite y=x et de l'hyperbole de f. 

c) 3 étapes pour la récurrence avec f croissante et f(x)<3 . À rédiger soigneusement en utilisant 1<x<3, alors f(x)<x.

4) Tu calcules v_n+1/v_n et obtiens, sauf erreur 2/3 pour conclure.  Après calcul de v₀ tu peux écrire v_n puis u_n. Ce n'est que du calcul.

La limite exacte de (u_n) ne pose pas de difficulté.

Au travail.

En fouinant sur Internet, sur que tu trouveras une réponse détaillée prête au copier coller.

 

[Barbidoux]

Exercice 4 Soit (Un) la suite définie par Un=∑n/(n2+k)=n/(n2+1)+n/(n2+2)+....+n/(n2+n)
1. Quel est le plus petit des n termes de la somme définissant (Un)? Le plus grand ?

-----------
le plus petit est n/(n^2+n) le plus grand n/(n^2+1)
-----------
2. En déduire un encadrement de (Un)puis lim →+∞ Un

-----------
donc  n*(n/(n^2+n)) ≤un≤n*(n/(n^2+1) ==>n^2/(n^2+n) ≤un≤n^2/(n^2+1)
Lorsque n-> ∞ alors n^2>>1 et n^2>>n ==> lim de n^2/(n^2+1)=1 et lim n^2/(n^2+n)=1 ==> Thèorème des gendarmes un->1
-----------
3. On dispose de l’algorithme ci-dessous.
N ←1
S ←0,5
Tant que S > 1,01 ou S < 0,99  N ←N+1
  S ← 0
  Pour K de 1 à N  S←S+ ((N)/(N2+K))  Fin de la boucle Pour
Fin du Tant que
Afficher N
a)  Que fait l’algorithme ci-dessus ? Autrement dit, que représente le nombre obtenu en sortie ? Pourquoi peut-on affirmer que la boucle « tant que » ne tourne pas indéfiniment ?
-----------
Calcule la valeur de n pour telle que la suite un soit comprise entre 0.99 et 1.01
-----------
b) À l’aide de la calculatrice, déterminer le nombre renvoyé par l’algorithme
-----------

 

[julesx]

Juste une rectification.

Il y a 3 heures, Barbidoux a dit :

Le plus petit est n/(n^2+1) le plus grand n/(n^2+n)

C'est l'inverse.

Pour la suite, peut-être faut-il préciser qu'on fait la somme de 1 à n des inégalités pour arriver à l'encadrement de U_n.

Il y a 8 heures, sarah nounette a dit :

Pourquoi peut-on affirmer que la boucle « tant que » ne tourne pas indéfiniment ?

Revoir à ce propos la définition initiale de la limite d'une série...

3)b) Pour le programme sur la calculette, s'il y a un problème, sarah, précise ton modèle.

[sarah nounette]

Il y a 8 heures, pzorba75 a dit :

1)  Pour étudier les variations de f, il faut obtenir f' et déterminer le signe de f'(x).

 

 

en faite c est ça mon probleme j arrive pas a obtenir un f' que je puisse etudier ensuite

[pzorba75]

f(x)=(5x+1)/(x+5)

f est du type u/v avec u=5x+1 u'=5 et v=x+5 , v'=1. Tu sais ou dois savoir que la dérivée de u/v est (u'v-uv')/v^2.

À toi de reprendre et de faire les calculs, aucune difficulté.

Autre méthode, plus économique en calcul :

5x+1=5(x+5)-24 et f(x)=5-24/(x+5) donc f'(x)=24/(x+5)^2 en appliquant la formule, à connaitre par cœur si f=1/u alors f'=-u'/u^2.

À ce stade de l'année en 1ère, ces deux méthodes sont supposées acquises.