Devoir Maison Intégrales TS

[Barbidoux]

il y a 39 minutes, Misawa a dit :

Donc résumé de la 3 :

La production moyenne demandée ici est la valeur moyenne sur l'intervalle [0;600] de la fonction f(x). Par définition, cette valeur moyenne se calcule par :

1/6 ∫₀⁶ f(x) dx

Comme on connait une primitive F(x) de f(x), on a :

1/6 ∫₀⁶ f(x) dx = 1/6 [F(x)]₀⁶ dx = 1/6 [F(6) - F(0)]₀⁶dx (à supprimer)

D'où l'expression de la production moyenne :

1/6 [F(6) - F(0)]₀⁶ dx (à supprimer)

1/6 [((-2*(6)²-7*6-7)e^-6)-((-2*(0)²-7*0-7)e^-0)]₀⁶ dx (à supprimer)

1/6 [-121e^-6 - (-7)]₀⁶ dx (à supprimer)

1/6 [7 - 121e^-6]₀⁶ dx (à supprimer)

La production moyenne pendant la période envisagée est de 1,11668 * 1000~1117 tonnes de gravier.

 

[Misawa]

D'accord merci et pour la question 4, ce que j'ai écrit s'il vous plaît? @Barbidoux

[Barbidoux]

il y a 30 minutes, Misawa a dit :

Pour la question 4 :     

f(x) = (2x²+3x)e^-x                                                                                                         (uv)' = u'v+uv'                u(x) = 2x² + 3x                u'(x) = 4x+3

f'(x) = (4x+3) * (e^-x) + (2x+3x) * (-e^-x)                                                                                                               v(x) = e^-x                          v'(x) = -e^-x

f'(x) = 4xe^-x + 3e^-x - 2x²e^-x + 3xe^-x

f'(x) = -2x²e^-x + x + 3e^-x

f'(x) = (-2x² + x + 3)e^-x

Comment avez-vous trouver que la production maximale se faisait au bout de 150 jours?

 

(-2*x^2+x+3) s'annule pour x=-1 et x=3/2 et est du signe du coefficient de x^2 à l'extérieur de ses racines ce qui signifie que f(x) passe par un maximum pour x=1.5. Donc la production journalière est maximale le 150 ème jour

[Misawa]

il y a 13 minutes, Barbidoux a dit :

(-2*x^2+x+3) s'annule pour x=-1 et x=3/2 et est du signe du coefficient de x^2 à l'extérieur de ses racines ce qui signifie que f(x) passe par un maximum pour x=1.5. Donc la production journalière est maximale le 150 ème jour

Ah oui d'accord je comprends mieux merci.

Mais je viens de relire la question et il demande aussi de calculer la production maximale en plus de trouver après combien de jours après l'ouverture du site elle est obtenue @Barbidoux

[Misawa]

Il y a 20 heures, Barbidoux a dit :

pour la 7 pas de problème il suffit d'écrire que la production moyenne est supérieur à 1200 t ce qui donne  (F(x)-F(0))/x>1.2  en remplaçant F(x)et F(0) par leurs expressions on obtient 2*x^2 + 7*x + 7)*exp(-x)+ 1.2*x - 7>0

Pour la 7 : 

J'ai quelques petits doutes pour arriver jusqu'à ce résultat, j'ai donc calculé de mon côté et j'aimerais savoir si cela est juste.

Production moyenne : [F(x) -F(0)]/x > 1,2

[((-2x² - 7x - 7)e^-x) - (-2 * (0)² - 7 * 0 - 7)e^-0)]/x > 1,2

[-(2x² + 7x + 7)e^-x + 7]/x > 1,2

C'est à partir de là que ca part en cacahuète et que j'ai sans doute fait de la magie.

-1,2x < (2x² + 7x + 7)e^-x - 7

(2x² + 7x + 7)e^-x - 7 + 1,2x > 0

1,2x + (2x² + 7x + 7)e^-x - 7 > 0

Est ce que cela est juste ?

Il y a 20 heures, Barbidoux a dit :

Pour la 8 on recherche par dichotomie la valeur de x qui annule l'expression ce qui conduit à  x=1.126 soit 112 Jours. On peut aussi modifier la fonction annexe et la condition de l'algorithme de la question 6

Pour la 8 :

J'aimerais bien savoir comment vous êtes arrivé à x = 1,126 et trouver 112 jours s'il vous plaît ? @Barbidoux

[julesx]

Pour la 7) :

Le problème, c'est que l'énoncé de cette question est ambigu. Pour arriver à l'inégalité donnée, Il faut interpréter "cela arrive" comme "la valeur de x pour laquelle la production moyenne devient inférieur à 1200 tonnes".

On doit donc écrire

[F(x) -F(0)]/x < 1,2

=>

[((-2x² - 7x - 7)e^-x) - (-2 * (0)² - 7 * 0 - 7)e^-0)]/x < 1,2

=>

-(2x² + 7x + 7)e^-x + 7  < 1,2x

=>

0 < 1,2x+(2x² + 7x + 7)e^-x -7

soit, bien,

1,2x+(2x² + 7x + 7)e^-x -7 > 0

[Misawa]

il y a une heure, julesx a dit :

Pour la 7) :

Le problème, c'est que l'énoncé de cette question est ambigu. Pour arriver à l'inégalité donnée, Il faut interpréter "cela arrive" comme "la valeur de x pour laquelle la production moyenne devient inférieur à 1200 tonnes".

On doit donc écrire

[F(x) -F(0)]/x < 1,2

=>

[((-2x² - 7x - 7)e^-x) - (-2 * (0)² - 7 * 0 - 7)e^-0)]/x < 1,2

=>

-(2x² + 7x + 7)e^-x + 7  < 1,2x

=>

0 < 1,2x+(2x² + 7x + 7)e^-x -7

soit, bien,

1,2x+(2x² + 7x + 7)e^-x -7 > 0

D'accord merci beaucoup,

J'attends la réponse de @Barbidoux pour la question 5 et 8.

[pzorba75]

Tu étudies de signe de (-2x^2+x+3) pour x>0 et tu trouveras les variations de f, donc la position de l'extremum.

[Barbidoux]

5-------------
f(x) décroit à partir de x=1.5 ce qui correspond à 150 jours, valeur pour laquelle la production journalière est égale à 2001 t. Comme f(6)=0.22  soit 220 tonnes on en déduit que la production descend en dessous de 500 tonnes avant 600 jours
8------------
Pour la 8 on recherche par dichotomie la valeur de x qui annule l'expression ce qui conduit à  x=1.126 soit 112 Jours. On peut aussi modifier la fonction annexe et la condition de l'algorithme de la question 6

Dichotomie

Algorithme

[Misawa]

D'accord merci, @Barbidoux j'ai une question, vous êtes sur que pour la question 1, l'ensemble de définition c'est R, c'est pas plutôt [0;+oo[ ??

[Barbidoux]

La fonction f(x) produit d'un polynôme et d'une exponentielle définies toutes deux sur R est définie pour toute valeur de x appartenant à R.

[Misawa]

Donc pour le tableau de variation de la question 4, j'étudie sur ]-oo +oo[ ? @Barbidoux

[Barbidoux]

Un tableau de variation n'est pas indispensable mais si tu désires en faire un tu peux le limiter à la partie positive du graphe de f(x) c'est à dire à R+ seule partie de la fonction qui a du sens dans le contexte de l'exercice.

[Misawa]

Donc [0;+oo[ ? @Barbidoux

[Barbidoux]

ben oui R+ = [0; ∞[