Devoir Maison Intégrales TS

[Misawa]

Bonjour,

J'ai ce devoir maison à faire sur les intégrales et fonctions et je ne l'ai pas vraiment compris, comment faire.

Si quelqu'un aurait la gentilesse de m'aider, me montrer comment faire ce serait gentil de votre part.

Voilà l'énoncé :

Merci d'avance pour votre aide précieuse.

[Barbidoux]

1------------
définie sur R
2------------
F'(x)=f(x) ==> F(x) est une primitive de f(x)
3-------------
Production moyenne=(F(600)-F(0))/600
4-------------
Production maximale
f'(x)=(-2*x^2+x+3)*exp(-x) s'annule pour x=-1 et x=3/2 soit production maximale au bout de 150 jours
5-------------
f(6)=0.22  soit 220 tonnes donc la production descend en dessous de 500 tonnes avant 600 jours
6----------------------

a=1.5

p prend pour valeur f(a)

Tant que p>0.5 faire
p prend pour valeur f(a)
a=a+0.01
fin de tant que
a rend pour valeur a*100-1
afficher a

avec f(x) =(-2*x^2+3*x)*exp(-x)
7----------------
Production moyenne=(F(x)-F(0))/x>1.2 ==>

 

[pzorba75]

Pour démarrer :

1) f est définie comme un produit de <2 fonctions définies sur R, elle est donc définie sue sur R

2) F est une primitive de f, si, pour tout réel x F'(x)=f(x).

Tu dérives F(x), produit de deux fonctions dérivables pour conclure.

3) La production moyenne est la valeur moyenne de f sur l'intervalle [0;600], soit 1/600[F(x)]_0^{600}.

Je te laisse avancer en vérifiant soigneusement.

[julesx]

Bonsoir Barbidoux,

La partie 6 est à revoir !

* p prend pour valeur f(a) est inutile

* Comme on raisonne en termes de jours, il faut incrémenter a de 0,01 pas de 0,1

* Le nombre de jours est a*100, pas (a+1,5)*100.

* f(x)=(2x²+3x)*e^-x.

[Barbidoux]

il y a une heure, julesx a dit :

Bonsoir Barbidoux,

La partie 6 est à revoir !

* p prend pour valeur f(a) est inutile (cela dépend du langage de programmation. Utilisation ou non d'une fonction auxiliaire)

* Comme on raisonne en termes de jours, il faut incrémenter a de 0,01 pas de 0,1 exact faute de frappe corrigée

* Le nombre de jours est a*100, pas (a+1.5)*100 exact, de plus il faut utiliser a*100-1

* f(x)=(2x²+3x)*e^-x. (exact faute de frappe corrigée)

[Misawa]

Donc en reprenant ce que vous m'avez dit cela donne : @Barbidoux

1) La fonction f est un produit de deux fonctions définies sur R donc elle est définie sur R. 

2) F(x) est une primitive de f, si pour tout réel x, F'(x)=f(x).

F(x) = (-2x² - 7x - 7)e^-x                                          (u.v)' = u'.v + u.v'         u(x) = -2x² - 7x - 7     v(x) = e^-x

F'(x) = (-4x - 7) * (e^-x) + (-2x² -7x - 7) * (-e^-x)                                             u'(x) = -4x - 7             v'(x)= -e^-x

F'(x) = -4xe^-x - 7e^-x + 2x²e^-x + 7xe^-x + 7e^-x

F'(x) = 2x²e^-x  + 3xe^-x

F'(x) = (2x² + 3x)e^-x

F'(x) = f(x)

Donc F(x) est une primitive de f.

3) Je n'ai pas très bien compris pour la 3 comment m'y prendre car @Barbidoux vous me donnez une façon de faire et @pzorba75 une autre façon, laquelle est la plus simple?

[Barbidoux]

1) La fonction f est e produit de deux fonctions définies sur R donc elle est définie sur R.

[Misawa]

il y a 4 minutes, Barbidoux a dit :

1) La fonction f est e produit de deux fonctions définies sur R donc elle est définie sur R.

D'accord merci et du coup pour la 3 @Barbidoux c'est possible d'avoir plus de détails s'il vous plaît?

[julesx]

Pour la 3 ...

 

[Misawa]

il y a 46 minutes, julesx a dit :

Pour la 3 ...

 

D'accord merci @julesx, donc a partir de cela on doit remplacer les valeurs que l'on trouve pour F(600) et F(0)?

[julesx]

C'est bien ça, sauf que j'ai repris sans réfléchir des éléments postés précédemment. Dans les calculs, il faut raisonner en centaines de jours, donc l'expression de l'intégrale est 1/6*∫₀⁶f(x)dx, qui vaut donc1/6*[F(6)-F(0)] avec F(x)= (-2x² - 7x - 7)e^-x.

[Misawa]

il y a une heure, julesx a dit :

 

1/6 [F(6) - F(0)]

1/6 [-121*e^-6 - (-7)]

1/6 [7 - 121*e^-6]

Et ensuite?

 

[julesx]

Tu termines le calcul numérique, tu multiplies par 1000 et tu arrondis à l'unité pour avoir le nombre de tonnes de gravier (rappel, f(x) donne le nombre de milliers de tonnes).

[Misawa]

J'obtiens environ 1120 tonnes de gravier ?? @julesx

[julesx]

Moi aussi ! Cela dit, on peut "affiner" à 1117 tonnes, en arrondissant x à 3 chiffres après la virgule.

[Misawa]

Oui exact j'ai trouvé 1117 tonnes et j'ai arrondi a 1120 tonnes. @julesx

[julesx]

Pour l'arrondi, des "gouts et des couleurs" ! Moi, je préfère garder la valeur arrondie à l'unité, mais je n'ai d'argument, ni pour, ni contre. En physique, on partirait sur des considérations de chiffres significatifs des données, mais là, on est en maths...

Tu as regardé les questions 7 et 8 ?

[Misawa]

Non j'aimerais bien continuer sur les questions 4, 5 etc avant car j'ai pas bien compris comme il n'y a pas les détails @julesx

[julesx]

Demande des compléments à Barbidoux, puisque c'est lui a posté les réponses que tu ne comprends pas.

[Barbidoux]

4-------------
La production journalière est donnée par la fonction f(x)=(2*x^2+3*x)*exp(-x). Pour trouver la production maximale journalière (le maximum de cette fonction)  il faut et il suffit rechercher les zéros de la fonction dérivée f'(x)
Production maximale
f'(x)=(-2*x^2+x+3)*exp(-x) s'annule pour x=-1 et x=3/2 soit production maximale au bout de 150 jours
5-------------
L'étude de f'(x) montre que la production journalière passe par un maximum pour x=1.5 en étant uniformément  croissante avant cette valeur puis uniformément décroissante ensuite. Comme :
f(6)=0.22  soit 220 tonnes on en déduit que la production descend en dessous de 500 tonnes avant 600 jours

[Misawa]

il y a une heure, Barbidoux a dit :

4-------------
La production journalière est donnée par la fonction f(x)=(2*x^2+3*x)*exp(-x). Pour trouver la production maximale journalière (le maximum de cette fonction)  il faut et il suffit rechercher les zéros de la fonction dérivée f'(x)
Production maximale
f'(x)=(-2*x^2+x+3)*exp(-x) s'annule pour x=-1 et x=3/2 soit production maximale au bout de 150 jours
5-------------
L'étude de f'(x) montre que la production journalière passe par un maximum pour x=1.5 en étant uniformément  croissante avant cette valeur puis uniformément décroissante ensuite. Comme :
f(6)=0.22  soit 220 tonnes on en déduit que la production descend en dessous de 500 tonnes avant 600 jours

D'accord merci, je comprends mieux, du coup pour la 6 c'est ok, juste pour la 7 et la 8? @Barbidoux

[Barbidoux]

pour la 7 pas de problème il suffit d'écrire que la production moyenne est supérieur à 1200 t ce qui donne  (F(x)-F(0))/x>1.2  en remplaçant F(x)et F(0) par leurs expressions on obtient 2*x^2 + 7*x + 7)*exp(-x)+ 1.2*x - 7>0

Pour la 8 on recherche par dichotomie la valeur de x qui annule l'expression ce qui conduit à  x=1.126 soit 112 Jours. On peut aussi modifier la fonction annexe et la condition de l'algorithme de la question 6

[Misawa]

Donc résumé de la 3 :

La production moyenne demandée ici est la valeur moyenne sur l'intervalle [0;600] de la fonction f(x). Par définition, cette valeur moyenne se calcule par :

1/6 ∫₀⁶ f(x) dx

Comme on connait une primitive F(x) de f(x), on a :

1/6 ∫₀⁶ f(x) dx = 1/6 [F(x)]₀⁶ dx = 1/6 [F(6) - F(0)]₀⁶

D'où l'expression de la production moyenne :

1/6 [F(6) - F(0)]₀⁶

1/6 [((-2*(6)²-7*6-7)e^-6)-((-2*(0)²-7*0-7)e^-0)]

1/6 [-121e^-6 - (-7)]

1/6 [7 - 121e^-6]

La production moyenne pendant la période envisagée est de 1,11668 * 1000 = 1117 tonnes de gravier.

[pzorba75]

Tu utilises le signe intégrale avec la fonction f à intégrer; quand tu disposes de la primitive F, tu écris directement l'intégrale F(b)-f(a) si l'intégrale porte sur un intervalle [a;b]

[Misawa]

Il y a 21 heures, Barbidoux a dit :

4-------------
La production journalière est donnée par la fonction f(x)=(2*x^2+3*x)*exp(-x). Pour trouver la production maximale journalière (le maximum de cette fonction)  il faut et il suffit rechercher les zéros de la fonction dérivée f'(x)
Production maximale
f'(x)=(-2*x^2+x+3)*exp(-x) s'annule pour x=-1 et x=3/2 soit production maximale au bout de 150 jours
5-------------
L'étude de f'(x) montre que la production journalière passe par un maximum pour x=1.5 en étant uniformément  croissante avant cette valeur puis uniformément décroissante ensuite. Comme :
f(6)=0.22  soit 220 tonnes on en déduit que la production descend en dessous de 500 tonnes avant 600 jours

Pour la question 4 :     

f(x) = (2x²+3x)e^-x                                                                                                         (uv)' = u'v+uv'                u(x) = 2x² + 3x                u'(x) = 4x+3

f'(x) = (4x+3) * (e^-x) + (2x+3x) * (-e^-x)                                                                                                               v(x) = e^-x                          v'(x) = -e^-x

f'(x) = 4xe^-x + 3e^-x - 2x²e^-x + 3xe^-x

f'(x) = -2x²e^-x + x + 3e^-x

f'(x) = (-2x² + x + 3)e^-x

Comment avez-vous trouver que la production maximale se faisait au bout de 150 jours? @Barbidoux à partir de la fonction dérivée?