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les suites TS


Pauline94320
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Bonjour voici mes exercices,

exercice 1: 

On considère la suite (Un) définie par : u0=0, u1=0.9, u2=0.99, ...

1-Pour tout entier n, écrire un comme une somme de fraction

2- Ecrire cette somme à l'aide du symbole :somme:

3-En déduire que pour tout n appartient N, un= 1-(1/10n)

4-En déduire que 0.99999......=1

Exercice 2: 

On rappelle que le nombre d'or, noté :grec1:, est l'unique solution positive de l'équation x2=x+1. Soit (fn) la suite définie pas f0=0, f1=1 et fn+2= fn+1+fn

1-Démontrer les égalités: :grec1:=1+(1/:grec1:) et :grec1:=(:grec1:2+1)/(2:grec1:-1) sans utiliser la valeur de :grec1: (qu'elle soit exacte ou approché...)

2- calculer les 6 premiers termes de (fn)

3- Réduire les puissances :grec1:3, :grec1:4:grec1:5:grec1:6, sous la forme a:grec1:+b avec a et b réels.

4- Démontrer par récurrence: pour tout n appartient N, :grec1:n=fn*:grec1:+fn-1

On considère la suite (an) définie par a0=2 et an+1=1+(1/an)

5- montrer par récurrence que pour tout n appartient N (3/2)<=an<=2

6- Montrer que pour tout n>=1, (an+1-:grec1:)<=(4/9)(an-:grec1:) On pourra utiliser :grec1:=1+(1/:grec1:)

7- Déduire, par récurrence, que pour n>=1, an+1-:grec1:<=(4/9)n-1(an-:grec1:) et donc que (an-:grec1:)<=(4/9)n

8- Conclure que la suite (an) converge vers :grec1:

Cela fait plusieurs jours que je cherche mais je n'arrive pas. Dans l'exercice 2 ce qui me bloque c'est :grec1: je ne comprends pas les questions. Pourriez-vous m'aider à comprendre. Merci 

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il y a 22 minutes, julesx a dit :

Et pour démarrer l'exercice 1 :

1) u0=0

u1=0,9=9/10

u2=0,99=9/10+9/100=9/10+9/10²

...

un=9/10+9/10²+...+9/10n

où tu reconnais la somme des termes d'une suite géométrique.

Merci pour votre aide du coup pour l'exercice 1 j'ai faits 

2- nk=0:somme:uk=u0+u1+...+un=u0*(1+q+q2+..+qn)

3- Montrons que pour tout n appartient N un=1-(1/10n)

Initialisation ==> 1-(1/100)=0 qui est bien égale à la valeur connue u0=0

Hérédité==> supposons que pour un entier k donné uk=1-(1/10k)

on va montrer que uk+1=1-(1/10k+1)

Après je ne sais pas comment faire. Est-ce que je suis sur la bonne voie?

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  • E-Bahut

Attention, u0=0, donc, pour que la forme générale qk soit vérifiée, il faut commencer le premier terme à 1

:somme:k=1nuk=u1+...+un  avec uk=9/10k

Après, inutile de procéder par récurrence, tu as dans ton cours l'expression de la somme des termes d'une suite géométrique. Il faut simplement faire attention au fait qu'ici, la somme commence à 1 (ou mettre 9/10 en facteur, mais alors la somme va jusqu'à n-1.

 

 

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il y a une heure, pzorba75 a dit :

Pour démarrer l'exercice 2:

1)

Phi^2=Phi+1<=>( Phi>0) en divisant par Phi, Phi=1/Phi+1 

Phi=Phi^2-1=2*Phi^2-Phi^2-1<=>Phi2+1=2*Phi^2-Phi

À toi de travailler un peu.

Merci pour votre aide j'ai essayé de le refaire mais je ne comprends pas comment vous avez fait car lorsque l'on divise par :grec1: il nous reste :grec1:=1  

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il y a 7 minutes, julesx a dit :

Attention, u0=0, donc, pour que la forme générale qk soit vérifiée, il faut commencer le premier terme à 1

:somme:k=1nuk=u1+...+un  avec uk=9/10k

Après, inutile de procéder par récurrence, tu as dans ton cours l'expression de la somme des termes d'une suite géométrique. Il faut simplement faire attention au fait qu'ici, la somme commence à 1 (ou mettre 9/10 en facteur, mais alors la somme va jusqu'à n-1.

 

 

A oui je n'avais pas fait attention à u0 donc du coup pour la 3- je mets u1*((1-qn+1)/(1-q)

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  • E-Bahut
il y a 26 minutes, Pauline94320 a dit :

u1=0.9 et q est la raison  (9/10n)

Je préfère u1=9/10 et q=1/10 (9/10, 9/10*1/10, 9/10*1/10² etc).

D'autre part, l'expression de la somme est u1*(1-qn)/(1-q), soit, avec u1=9/10 et q=1/10, un=9/10*(1-(1/10)n/(1-1/10)=1-(1/10n).

Lorsque n tend vers l'infini, 1/10n tend vers 0, donc la somme tend vers 1.

N.B.: Revois les énoncés des questions 6 et 7 de l'exercice 2, à mon avis, il y a des erreurs de transcription.

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il y a 3 minutes, julesx a dit :

Je préfère u1=9/10 et q=1/10 (9/10, 9/10*1/10, 9/10*1/10² etc).

D'autre part, l'expression de la somme est u1*(1-qn)/(1-q), soit, avec u1=9/10 et q=1/10, un=9/10*(1-(1/10)n/(1-1/10)=1-(1/10n).

Lorsque n tend vers l'infini, 1/10n tend vers 0, donc la somme tend vers 1.

N.B.: Revois les énoncés des questions 6 et 7 de l'exercice 2, à mon avis, il y a des erreurs de transcription.

D'accord Merci beaucoup pour votre aide,

j'ai relu les questions 6 et 7 en effet il y a une faute dans le 7, merci, par contre le 6 est correct. Il y a juste an+1-:grec1: qui est deux barres mais je n'ai pas réussi à les mettre.

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  • E-Bahut
il y a 39 minutes, Pauline94320 a dit :

j'ai relu les questions 6 et 7 en effet il y a une faute dans le 7, merci, par contre le 6 est correct. Il y a juste an+1-:grec1: qui est deux barres mais je n'ai pas réussi à les mettre.

C'est en particulier de ces deux barres dont je te parle. En effet, elles signifient "valeur absolue" et cette indication est indispensable car an+1-:grec1: change de signe à chaque itération.

 

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il y a 2 minutes, julesx a dit :

C'est en particulier de ces deux barres dont je te parle. En effet, elles signifient "valeur absolue" et cette indication est indispensable car an+1-:grec1: change de signe à chaque itération.

 

Effectivement excusez-moi.

Pouvez-vous m'aidez pour la question de l'exercice 2-4 car je ne comprends pas comment on peut démontrer cela 

:grec1:n=fn*:grec1:+fn-1= (x²=x+1)n=fn*:grec1:+fn-1

 

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  • E-Bahut

Comme dit dans l'énoncé, il faut procéder par récurrence.

L'initialisation ne pose pas de problème.

Pour l'hérédité, tu pars de

:grec1:n=fn*:grec1:+fn-1

Tu passes au rang n+1en multipliant le tout par :grec1:

:grec1:n+1=fn*:grec1:²+fn-1:grec1:

Tu remplaces :grec1:² par :grec1:+1 et tu réarranges le tout compte tenu de fn+1= fn+fn-1 pour obtenir :grec1:n+1=fn+1*:grec1:+fn.

Par contre, là, je vais m'absenter, merci aux autres intervenants de prendre le relais.

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il y a 1 minute, julesx a dit :

Comme dit dans l'énoncé, il faut procéder par récurrence.

L'initialisation ne pose pas de problème.

Pour l'hérédité, tu pars de

:grec1:n=fn*:grec1:+fn-1

Tu passes au rang n+1en multipliant le tout par :grec1:

:grec1:n+1=fn*:grec1:²+fn-1:grec1:

Tu remplaces :grec1:² par :grec1:+1 et tu réarranges le tout compte tenu de fn+1= fn+fn-1 pour obtenir :grec1:n+1=fn+1*:grec1:+fn.

Par contre, là, je vais m'absenter, merci aux autres intervenants de prendre le relais.

d'accord merci à vous de m'avoir aidé.

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Il y a 3 heures, Barbidoux a dit :

Il vaudrait mieux dire que  lorsque n-> ∞ alors qn+1->0 ce qui fait que  u1*((1-qn+1)/(1-q) -> u1/(1-q)=1

 

pour l’exercice 2 J'ai faits le reste mais je n'arrive pas a c'est trois questions Pourriez-vous m'aider s'il vous plait

6- Montrer que pour tout n>=1, (an+1-:grec1:)<=(4/9)(an-:grec1:) On pourra utiliser :grec1:=1+(1/:grec1:)

7- Déduire, par récurrence, que pour n>=1, an+1-:grec1:<=(4/9)n-1(an-:grec1:) et donc que (an-:grec1:)<=(4/9)n

8- Conclure que la suite (an) converge vers :grec1:

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  • E-Bahut
Il y a 5 heures, Pauline94320 a dit :

pour l’exercice 2 J'ai faits le reste mais je n'arrive pas a c'est trois questions Pourriez-vous m'aider s'il vous plait

6- Montrer que pour tout n>=1, | (an+1-:grec1:)|<=(4/9)|(an-:grec1:)| On pourra utiliser :grec1:=1+(1/:grec1:)

7- Déduire, par récurrence, que pour n>=1, an+1-:grec1:<=(4/9)n-1(an-:grec1:) et donc que (an-:grec1:)<=(4/9)n

8- Conclure que la suite (an) converge vers :grec1:

Il me semble que l'énoncé tel qu'il est écrit présente des coquilles ....   valeurs absolues manquantes , expressions  incompatibles ....

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  • E-Bahut
Le 30/09/2017 at 16:17, Pauline94320 a dit :

Merci pour votre aide j'ai essayé de le refaire mais je ne comprends pas comment vous avez fait car lorsque l'on divise par :grec1: il nous reste :grec1:=1  

Bonjour,

Pour cette question, il faut vérifier que 0 et 0.5 ne sont pas solution de l'équation pour pouvoir faire les divisions. En effet, comme on ne fait pas d'hypothèse sur sa/ses valeurs, il faut quand même s'assurer que l'on ne fera jamais de division par zéro.

BS

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Le 02/10/2017 à 11:44, Barbidoux a dit :

1.jpg.9fc68ebeba7aeebddad02c6e645c26cf.jpg

merci pour votre aide 

Comment avez vous trouvé que :grec1:=(1+:sqrt:5)/2 ?

Le 02/10/2017 à 13:50, Boltzmann_Solver a dit :

Bonjour,

Pour cette question, il faut vérifier que 0 et 0.5 ne sont pas solution de l'équation pour pouvoir faire les divisions. En effet, comme on ne fait pas d'hypothèse sur sa/ses valeurs, il faut quand même s'assurer que l'on ne fera jamais de division par zéro.

BS

bonjour, d'accord merci pour votre aide

c'est bon je l'ai fait

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