les suites TS

[Pauline94320]

Bonjour voici mes exercices,

exercice 1: 

On considère la suite (U_n) définie par : u₀=0, u₁=0.9, u₂=0.99, ...

1-Pour tout entier n, écrire u_n comme une somme de fraction

2- Ecrire cette somme à l'aide du symbole 

3-En déduire que pour tout n appartient N, u_n= 1-(1/10ⁿ)

4-En déduire que 0.99999......=1

Exercice 2: 

On rappelle que le nombre d'or, noté , est l'unique solution positive de l'équation x²=x+1. Soit (f_n) la suite définie pas f₀=0, f₁=1 et f_n+2= f_n+1+f_n

1-Démontrer les égalités: =1+(1/) et =(²+1)/(2-1) sans utiliser la valeur de  (qu'elle soit exacte ou approché...)

2- calculer les 6 premiers termes de (f_n)

3- Réduire les puissances ^3, 4, ⁵, ⁶, sous la forme a+b avec a et b réels.

4- Démontrer par récurrence: pour tout n appartient N, ⁿ=f_n*+f_n-1

On considère la suite (a_n) définie par a₀=2 et a_n+1=1+(1/a_n)

5- montrer par récurrence que pour tout n appartient N (3/2)a_n2

6- Montrer que pour tout n1, (a_n+1-)(4/9)(a_n-) On pourra utiliser =1+(1/)

7- Déduire, par récurrence, que pour n1, a_n+1-(4/9)^n-1(a_n-) et donc que (a_n-)(4/9)ⁿ

8- Conclure que la suite (a_n) converge vers 

Cela fait plusieurs jours que je cherche mais je n'arrive pas. Dans l'exercice 2 ce qui me bloque c'est  je ne comprends pas les questions. Pourriez-vous m'aider à comprendre. Merci 

[pzorba75]

Pour démarrer l'exercice 2:

1)

Phi^2=Phi+1<=>( Phi>0) en divisant par Phi, Phi=1/Phi+1 

Phi=Phi^2-1=2*Phi^2-Phi^2-1<=>Phi2+1=2*Phi^2-Phi

À toi de travailler un peu.

[julesx]

Et pour démarrer l'exercice 1 :

1) u₀=0

u₁=0,9=9/10

u₂=0,99=9/10+9/100=9/10+9/10²

...

u_n=9/10+9/10²+...+9/10ⁿ

où tu reconnais la somme des termes d'une suite géométrique.

[Pauline94320]

il y a 22 minutes, julesx a dit :

Et pour démarrer l'exercice 1 :

1) u₀=0

u₁=0,9=9/10

u₂=0,99=9/10+9/100=9/10+9/10²

...

u_n=9/10+9/10²+...+9/10ⁿ

où tu reconnais la somme des termes d'une suite géométrique.

Merci pour votre aide du coup pour l'exercice 1 j'ai faits 

2- ⁿ_k=0u_k=u₀+u₁+...+u_n=u₀*(1+q+q²+..+qⁿ)

3- Montrons que pour tout n appartient N u_n=1-(1/10ⁿ)

Initialisation ==> 1-(1/10⁰)=0 qui est bien égale à la valeur connue u₀=0

Hérédité==> supposons que pour un entier k donné u_k=1-(1/10^k)

on va montrer que u_k+1=1-(1/10^k+1)

Après je ne sais pas comment faire. Est-ce que je suis sur la bonne voie?

[julesx]

Attention, u₀=0, donc, pour que la forme générale q^k soit vérifiée, il faut commencer le premier terme à 1

_k=1ⁿu_k=u₁+...+u_n  avec u_k=9/10^k

Après, inutile de procéder par récurrence, tu as dans ton cours l'expression de la somme des termes d'une suite géométrique. Il faut simplement faire attention au fait qu'ici, la somme commence à 1 (ou mettre 9/10 en facteur, mais alors la somme va jusqu'à n-1.

 

 

[Pauline94320]

il y a une heure, pzorba75 a dit :

Pour démarrer l'exercice 2:

1)

Phi^2=Phi+1<=>( Phi>0) en divisant par Phi, Phi=1/Phi+1 

Phi=Phi^2-1=2*Phi^2-Phi^2-1<=>Phi2+1=2*Phi^2-Phi

À toi de travailler un peu.

Merci pour votre aide j'ai essayé de le refaire mais je ne comprends pas comment vous avez fait car lorsque l'on divise par  il nous reste =1  

[Pauline94320]

il y a 7 minutes, julesx a dit :

Attention, u₀=0, donc, pour que la forme générale q^k soit vérifiée, il faut commencer le premier terme à 1

_k=1ⁿu_k=u₁+...+u_n  avec u_k=9/10^k

Après, inutile de procéder par récurrence, tu as dans ton cours l'expression de la somme des termes d'une suite géométrique. Il faut simplement faire attention au fait qu'ici, la somme commence à 1 (ou mettre 9/10 en facteur, mais alors la somme va jusqu'à n-1.

 

 

A oui je n'avais pas fait attention à u₀ donc du coup pour la 3- je mets u₁*((1-qⁿ⁺¹)/(1-q)

[julesx]

Tel quel, je ne peux pas te dire si c'est juste, qu'appelles-tu u₁ et q ?

[Barbidoux]

il y a 56 minutes, Pauline94320 a dit :

Merci pour votre aide j'ai essayé de le refaire mais je ne comprends pas comment vous avez fait car lorsque l'on divise par  il nous reste =1  

[Pauline94320]

Il y a 22 heures, julesx a dit :

Tel quel, je ne peux pas te dire si c'est juste, qu'appelles-tu u₁ et q ?

u₁=0.9 et q est la raison  (9/10ⁿ)

Et pour la 4 j'ai répondu que 0.99999...=1 car on arrondi le tout au dixième près.

[Barbidoux]

Il vaudrait mieux dire que  lorsque n-> ∞ alors qⁿ⁺¹->0 ce qui fait que  u₁*((1-qⁿ⁺¹)/(1-q) -> u₁/(1-q)=1

 

[Pauline94320]

Il y a 21 heures, Barbidoux a dit :

 

Il y a 21 heures, Barbidoux a dit :

 

Merci pour votre aide, 

pour l'exercice 2  j'ai mis: 

2-f₀=0 f₁=1 f₂=1 f₃=2 f₄=3 f₅=5 f₆=8

3- ⁵=*⁴=(3+1)=3²+=4+3

⁶=*⁵=(4+1)=4²+=5+4

est ce correcte?

[Pauline94320]

il y a 14 minutes, Barbidoux a dit :

Il vaudrait mieux dire que  lorsque n-> ∞ alors qⁿ⁺¹->0 ce qui fait que  u₁*((1-qⁿ⁺¹)/(1-q) -> u₁/(1-q)=1

 

ceci est pour la question 4- ?

[julesx]

il y a 26 minutes, Pauline94320 a dit :

u₁=0.9 et q est la raison  (9/10ⁿ)

Je préfère u₁=9/10 et q=1/10 (9/10, 9/10*1/10, 9/10*1/10² etc).

D'autre part, l'expression de la somme est u₁*(1-qⁿ)/(1-q), soit, avec u₁=9/10 et q=1/10, u_n=9/10*(1-(1/10)ⁿ/(1-1/10)=1-(1/10ⁿ).

Lorsque n tend vers l'infini, 1/10ⁿ tend vers 0, donc la somme tend vers 1.

N.B.: Revois les énoncés des questions 6 et 7 de l'exercice 2, à mon avis, il y a des erreurs de transcription.

[Pauline94320]

il y a 3 minutes, julesx a dit :

Je préfère u₁=9/10 et q=1/10 (9/10, 9/10*1/10, 9/10*1/10² etc).

D'autre part, l'expression de la somme est u₁*(1-qⁿ)/(1-q), soit, avec u₁=9/10 et q=1/10, u_n=9/10*(1-(1/10)ⁿ/(1-1/10)=1-(1/10ⁿ).

Lorsque n tend vers l'infini, 1/10ⁿ tend vers 0, donc la somme tend vers 1.

N.B.: Revois les énoncés des questions 6 et 7 de l'exercice 2, à mon avis, il y a des erreurs de transcription.

D'accord Merci beaucoup pour votre aide,

j'ai relu les questions 6 et 7 en effet il y a une faute dans le 7, merci, par contre le 6 est correct. Il y a juste a_n+1- qui est deux barres mais je n'ai pas réussi à les mettre.

[Pauline94320]

il y a 57 minutes, Pauline94320 a dit :

Il y a 22 heures, Barbidoux a dit :

 

Merci pour votre aide, 

pour l'exercice 2  j'ai mis: 

2-f₀=0 f₁=1 f₂=1 f₃=2 f₄=3 f₅=5 f₆=8

3- ⁵=*⁴=(3+2)=3²+2=5+3

⁶=*⁵=(5+1)=5²+3=8+5

est ce correcte?

 

[julesx]

il y a 39 minutes, Pauline94320 a dit :

j'ai relu les questions 6 et 7 en effet il y a une faute dans le 7, merci, par contre le 6 est correct. Il y a juste a_n+1- qui est deux barres mais je n'ai pas réussi à les mettre.

C'est en particulier de ces deux barres dont je te parle. En effet, elles signifient "valeur absolue" et cette indication est indispensable car a_n+1- change de signe à chaque itération.

 

[Pauline94320]

il y a 2 minutes, julesx a dit :

C'est en particulier de ces deux barres dont je te parle. En effet, elles signifient "valeur absolue" et cette indication est indispensable car a_n+1- change de signe à chaque itération.

 

Effectivement excusez-moi.

Pouvez-vous m'aidez pour la question de l'exercice 2-4 car je ne comprends pas comment on peut démontrer cela 

ⁿ=f_n*+f_n-1= (x²=x+1)ⁿ=f_n*+f_n-1

 

[julesx]

Comme dit dans l'énoncé, il faut procéder par récurrence.

L'initialisation ne pose pas de problème.

Pour l'hérédité, tu pars de

ⁿ=f_n*+f_n-1

Tu passes au rang n+1en multipliant le tout par

ⁿ⁺¹=f_n*²+f_n-1

Tu remplaces ² par +1 et tu réarranges le tout compte tenu de f_n+1= f_n+f_n-1 pour obtenir ⁿ⁺¹=f_n+1*+f_n.

Par contre, là, je vais m'absenter, merci aux autres intervenants de prendre le relais.

[Pauline94320]

il y a 1 minute, julesx a dit :

Comme dit dans l'énoncé, il faut procéder par récurrence.

L'initialisation ne pose pas de problème.

Pour l'hérédité, tu pars de

ⁿ=f_n*+f_n-1

Tu passes au rang n+1en multipliant le tout par

ⁿ⁺¹=f_n*²+f_n-1

Tu remplaces ² par +1 et tu réarranges le tout compte tenu de f_n+1= f_n+f_n-1 pour obtenir ⁿ⁺¹=f_n+1*+f_n.

Par contre, là, je vais m'absenter, merci aux autres intervenants de prendre le relais.

d'accord merci à vous de m'avoir aidé.

[Pauline94320]

Il y a 3 heures, Barbidoux a dit :

Il vaudrait mieux dire que  lorsque n-> ∞ alors qⁿ⁺¹->0 ce qui fait que  u₁*((1-qⁿ⁺¹)/(1-q) -> u₁/(1-q)=1

 

pour l’exercice 2 J'ai faits le reste mais je n'arrive pas a c'est trois questions Pourriez-vous m'aider s'il vous plait

6- Montrer que pour tout n1, (a_n+1-)(4/9)(a_n-) On pourra utiliser =1+(1/)

7- Déduire, par récurrence, que pour n1, a_n+1-(4/9)^n-1(a_n-) et donc que (a_n-)(4/9)ⁿ

8- Conclure que la suite (a_n) converge vers 

[Barbidoux]

Il y a 5 heures, Pauline94320 a dit :

pour l’exercice 2 J'ai faits le reste mais je n'arrive pas a c'est trois questions Pourriez-vous m'aider s'il vous plait

6- Montrer que pour tout n1, | (a_n+1-)|(4/9)|(a_n-)| On pourra utiliser =1+(1/)

7- Déduire, par récurrence, que pour n1, a_n+1-(4/9)^n-1(a_n-) et donc que (a_n-)(4/9)ⁿ

8- Conclure que la suite (a_n) converge vers 

Il me semble que l'énoncé tel qu'il est écrit présente des coquilles ....   valeurs absolues manquantes , expressions  incompatibles ....

[Barbidoux]

[Boltzmann_Solver]

Le 30/09/2017 at 16:17, Pauline94320 a dit :

Merci pour votre aide j'ai essayé de le refaire mais je ne comprends pas comment vous avez fait car lorsque l'on divise par  il nous reste =1  

Bonjour,

Pour cette question, il faut vérifier que 0 et 0.5 ne sont pas solution de l'équation pour pouvoir faire les divisions. En effet, comme on ne fait pas d'hypothèse sur sa/ses valeurs, il faut quand même s'assurer que l'on ne fera jamais de division par zéro.

BS

[Pauline94320]

Le 02/10/2017 à 11:44, Barbidoux a dit :

merci pour votre aide 

Comment avez vous trouvé que =(1+5)/2 ?

Le 02/10/2017 à 13:50, Boltzmann_Solver a dit :

Bonjour,

Pour cette question, il faut vérifier que 0 et 0.5 ne sont pas solution de l'équation pour pouvoir faire les divisions. En effet, comme on ne fait pas d'hypothèse sur sa/ses valeurs, il faut quand même s'assurer que l'on ne fera jamais de division par zéro.

BS

bonjour, d'accord merci pour votre aide

c'est bon je l'ai fait