passage au carré

[C8H10N4O2]

Bonsoir à toutes et tous !

 a=b équivaut à   a²=b² si et seulement si et b sont de même signe. (1)

Je souhaite montrer qu'un nombre complexe z₁ = a+ib et son conjugué z₂ = x+iy ont même module. 

|z₂| = √(x²+y²) et par définition du conjugué, x=a et y=-b . Ma question est la suivante : puis-je ecrire x²=a² et y²=b² d'où |z₂|= √(a²+b²) = |z₁| sans autre forme de procès ou bien dois je preciser une condition particulière comme dans (1)? (Et si oui laquelle ?)

J'espère que vous comprenez mon interrogation

Merci d'avance pour vos lumières. 

 

 

[Barbidoux]

 

z=a+ib ==> |z|=√(a^2+b^2)

le conjugué de z a pour expression

z*=a-ib ==> |z*|=√(a^2+(-b)^2)= √(a^2+b^2) ==> |z|=|z*|

 

[C8H10N4O2]

Merci pour votre contribution, mais ma question portait non sur la démonstration en soi mais sur la condition à laquelle il est licite d'écrire

y=-b <=> y²=(-b)² <=>y²=b²

[Barbidoux]

il y a 44 minutes, C8H10N4O2 a dit :

y=-b => y²=(-b)² <=>y²=b²  (pas d'équivalence)

 

[C8H10N4O2]

Oui je suis d'accord, mais ça ne pose pas de problème qu' il y ait seulement inférence et non équivalence ?

Ex : résoudre √(2x+1)= x-1 => 2x+1 = (x-1)² 

D'où 2x+1= x²+1-2x <=> x²-4x = 0 <=> x(x-4)=0 . Ce qui donne deux solutions x=0 ou x=4 . Or x=0 ne convient pas puisque l'égalité de départ serait alors √1 = -1 .

Il aurait fallu écrire : √(2x+1) = x -1  <=>  2x+1 = (x-1)² sous réserve que x-1>0. Ce qui signifie bien qu'on ne peut se contenter d'une inférence mais qu'il faut s'assurer qu'on progresse dans le calcul par équivalences successives.

Ma question eétait donc de savoir pourquoi dans l'exemple que je donnais, on peut passer de y=-b à y²=(-b)² sans autre précision. 

[Barbidoux]

√(2x+1)= x-1 => 2x+1 = (x-1)2  (implication et pas équivalence car réciproque fausse)
√(2x+1)= |x-1 | <=> 2x+1 = (x-1)2  (équivalence )
De la même manière
y=b ==> y^2=(b)^2 (implication et pas équivalence car réciproque fausse)
y=|b| <==> y^2=b^2  (équivalence )

[C8H10N4O2]

Oui mais si on a comme point de départ y=-b , et non y = | - b | , comment obtenir néanmoins une relation équivalente, c'est à dire qui donne au final les mêmes solutions? 

[volcano47]

si y²=b² , y²-b² = (y+b)(y-b) =0 d'où y= -b ou y =b

par exemple y² =4 équivaut au choix  (y = 2 ou bien y = - 2 ) mais ni à y=2 seul ni à y=-2 seul

donc y= - 2 n'équivaut pas à y²= 4 mais implique y² =4

[C8H10N4O2]

Il y a 2 heures, volcano47 a dit :

si y²=b² , y²-b² = (y+b)(y-b) =0 d'où y= -b ou y =b

par exemple y² =4 équivaut au choix  (y = 2 ou bien y = - 2 ) mais ni à y=2 seul ni à y=-2 seul

donc y= - 2 n'équivaut pas à y²= 4 mais implique y² =4

Tout à fait d'accord. C'est tout le sens de ma question. Dans l'exemple que j'ai donné initialement, quelle condition ajouter pour s'assurer qu'on a bien une équivalence et non simplement une implication? (Étant donné qu'on veut obtenir une expression équivalente, qui aura au final les mêmes solutions)

[C8H10N4O2]

Il y a 23 heures, C8H10N4O2 a dit :

 

Je souhaite montrer qu'un nombre complexe z₁ = a+ib et son conjugué z₂ = x+iy ont même module. 

|z₂| = √(x²+y²) et par définition du conjugué, x=a et y=-b . Ma question est la suivante : puis-je ecrire x²=a² et y²=b² d'où |z₂|= √(a²+b²) = |z₁| sans autre forme de procès ou bien dois je preciser une condition particulière comme dans (1)? (Et si oui laquelle ?)

 

 

Voilà ma question de départ

[Barbidoux]

On peut démontrer (en utilisant des définition d'un nombre complexe, de son conjugué, et du module d'un complexe) qu'un nombre complexe et son conjugué ont même module mais ce n'est pas une relation d'équivalence puisque ont ne peut pas démontrer que deux complexes qui ont même module sont conjugués.

[julesx]

Moi, je dirais la chose suivante :

z=a+ib => |z|= √(a²+b²)

conj(z)=a-ib peut s'écrire conj(z)=a+i(-b) dont le module est |cons(j)|=√[a²+(-b)²]. Comme (-b)² peut s'écrire (-1)²*(b)² et que (-1)²=1, on a (-b)²=b² sans avoir la moindre condition à écrire sur b.

Il s'ensuit qu'on a bien |z|=|cons(j)| quels que soient les signes de a et de b.

Mais, comme l'a signalé Barbidoux, ce n'est pas une relation d'équivalence. Contre exemple simple, 1+2i a bien le même module que 2+i alors que ces deux nombres complexes ne sont pas conjugués.

 

[C8H10N4O2]

Il y a 1 heure, Barbidoux a dit :

On peut démontrer (en utilisant des définition d'un nombre complexe, de son conjugué, et du module d'un complexe) qu'un nombre complexe et son conjugué ont même module mais ce n'est pas une relation d'équivalence puisque ont ne peut pas démontrer que deux complexes qui ont même module sont conjugués.

Merci, ça me paraît maintenant plus clair !

[C8H10N4O2]

il y a une heure, julesx a dit :

Moi, je dirais la chose suivante :

z=a+ib => |z|= √(a²+b²)

conj(z)=a-ib peut s'écrire conj(z)=a+i(-b) dont le module est |cons(j)|=√[a²+(-b)²]. Comme (-b)² peut s'écrire (-1)²*(b)² et que (-1)²=1, on a (-b)²=b² sans avoir la moindre condition à écrire sur b.

Il s'ensuit qu'on a bien |z|=|cons(j)| quels que soient les signes de a et de b.

Mais, comme l'a signalé Barbidoux, ce n'est pas une relation d'équivalence. Contre exemple simple, 1+2i a bien le même module que 2+i alors que ces deux nombres complexes ne sont pas conjugués.

 

Merci, ça me paraît répondre à mon interrogation. Je bloquais là dessus du fait d'équations du type √(2x+1) = x-1  (cf. ci-dessus) que je résout toujours avec à l'esprit le fait de veiller à ne progresser que par équivalences, sans quoi on obtient des solutions qui ne sont peut être pas toutes valides pour l'expression initiale.