Etude de fonction avec exponentielle

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous,

J'aurais aimé avoir votre avis sur les deux questions ci-dessous : la méthode que j'emploie est-elle la bonne, peut-on faire plus simplement ?

 

Soit        f définie pour x différent de -5

1) Justifier que pour x  -5 , 

 

Voici mon raisonnement : 

  = 

 

On montre que 0  1-cos(x)  2  et on a par hypothèse x+5  0 . Donc l'expression est positive, ce qu'il fallait démontrer. 

 

2) En déduire la limite de la fonction f en  

    (factorisation possible car ni l'exponentielle ni x ne sont nuls, entre parenthèses tout tend vers 1 en l'infini)

 

Or,        .  Le premier facteur est de type  et tend vers l'infini, le second tend vers 2 . 

 

Au final,    , par comparaison f tend donc aussi vers 

 

Qu'en pensez- vous ?

 

 

Modifié le 3 décembre 2021 par C8H10N4O2

[pzorba75]

C'est tout à fait correct.

[C8H10N4O2]

Merci pzorba,

Question subsidiaire :

comment montrer lors de la recherche de la limite de la fonction en - 5 que   est négatif pour x = -5 ?

On peut bien sûr le déterminer à la calculatrice mais je doute que ce soit la méthode attendue... 🤔

 

[pzorba75]

Obtenir le signe de e^{2x-1}-2*cos{x} n'est pas simple, pour ne pas dire infaisable quand on voit la forme de la dérivée sin(x)+2*e^(2x-1). Je pense qu'il faut utiliser une logiciel informatique ou une calculatrice et se limiter à une "conjecture".

[C8H10N4O2]

il y a 13 minutes, pzorba75 a dit :

Obtenir le signe de e^{2x-1}-2*cos{x} n'est pas simple, pour ne pas dire infaisable quand on voit la forme de la dérivée sin(x)+2*e^(2x-1). Je pense qu'il faut utiliser une logiciel informatique ou une calculatrice et se limiter à une "conjecture".

Oui c'est ce que je me disais mais c'est étonnant car je tire cette question d'un exo a priori destiné à des élèves de Terminale... 

[pzorba75]

Quel est le titre de ce livre? et le numéro de l'exercice.

[C8H10N4O2]

il y a 8 minutes, pzorba75 a dit :

Quel est le titre de ce livre? et le numéro de l'exercice.

Il s'agit de l'exo n°100 ici : https://www.lelivrescolaire.fr/page/6971062

[julesx]

Bonsoir,

Ça n'engage que moi, mais, vu que c'est destiné à un élève de terminale (et même si c'était à un niveau supérieur), je pense que ce qu'on en attend, c'est un calcul approché du numérateur destiné à montrer qu'il est négatif puis une détermination des limites en fonction du signe du dénominateur, suivant qu'il x tend vers -5 par valeur inférieure ou supérieure. En tout cas, une interprétation à partir des différentes fonctions précédentes ne permet en aucun cas de conclure ici, contrairement à ce qui se passait pour les questions précédentes.

[C8H10N4O2]

il y a 15 minutes, julesx a dit :

Bonsoir,

Ça n'engage que moi, mais, vu que c'est destiné à un élève de terminale (et même si c'était à un niveau supérieur), je pense que ce qu'on en attend, c'est un calcul approché du numérateur destiné à montrer qu'il est négatif puis une détermination des limites en fonction du signe du dénominateur, suivant qu'il x tend vers -5 par valeur inférieure ou supérieure. En tout cas, une interprétation à partir des différentes fonctions précédentes ne permet en aucun cas de conclure ici, contrairement à ce qui se passait pour les questions précédentes.

C'est manifestement le cas mais les énoncés de ce niveau parlent en général dans ce cas de figure de conjecture et on rencontre davantage cet aspect en début d'exercice habituellement. Là il est demandé de "déterminer" les limites autour de -5 . Étrange, on ne demande normalement pas à un élève de justifier un raisonnement sur les limites en utilisant une valeur approchée d'une expression, à moins de l'avoir précisément guidé dans ce sens...

[pzorba75]

Pour la limite en -5, il faut peut-être se satisfaire de 2<e<3 pour conclure sur le signe du dénominateur et obtenir les limites à droite et à gauche. Cet exercice est mal posé. 

[C8H10N4O2]

Il y a 3 heures, pzorba75 a dit :

Pour la limite en -5, il faut peut-être se satisfaire de 2<e<3 pour conclure sur le signe du dénominateur et obtenir les limites à droite et à gauche. Cet exercice est mal posé. 

Oui je suis d'accord, mais je n'en étais pas sûr avant de lire vos réponses. Merci  à tous.

[julesx]

Bonjour,

Je ne vois en quoi le fait de voir que 2<e<3 permet de conclure sur le signe du numérateur. C'est bien ce dernier qui posait problème. Mais bon...

[C8H10N4O2]

il y a 17 minutes, julesx a dit :

Bonjour,

Je ne vois en quoi le fait de voir que 2<e<3 permet de conclure sur le signe du numérateur. C'est bien ce dernier qui posait problème. Mais bon...

Je dirais quant à moi quelque chose de ce genre :

Soit    

Et je laisserais le soin au correcteur d'être convaincu 😁

[julesx]

Ceci suppose quand même au minimum que -2cos(-5) soit négatif. Mais ça, on peut le justifier :
-2π<-5<-3π/2 => comme cos(x) est décroissant sur cet intervalle, cos(-2π)>cos(-5)>cos(-3π/2) soit 1>cos(-5)>0.
Par contre, même si e^-11 est petit devant 1, il reste à prouver que cos(-5) s'écarte suffisamment de cos(-3π/2) pour que le numérateur soit bien négatif.