Aller au contenu

Etude de fonction avec exponentielle


C8H10N4O2
 Share

Messages recommandés

Bonjour à tous,

J'aurais aimé avoir votre avis sur les deux questions ci-dessous : la méthode que j'emploie est-elle la bonne, peut-on faire plus simplement ?

 

Soit  image.png.38bf0d92f7790118bc8879466d986147.png      f définie pour x différent de -5

1) Justifier que pour x >= -5 , image.png.fa9c9610bfb09a48abaadcd770ab8685.png

 

Voici mon raisonnement

image.png.7de10620c9954847982d68cffad9bc41.png  = image.png.328ead5885e5ce7796c85bbfeaff0780.png

 

On montre que 0 <= 1-cos(x) <= 2  et on a par hypothèse x+5 >= 0 . Donc l'expression est positive, ce qu'il fallait démontrer. 

 

2) En déduire la limite de la fonction f en image.png.3ba70b6d1dcd7feb124a007edd3815a1.png 

image.png.068931a2a39168887dcfbecb70a974e0.png    (factorisation possible car ni l'exponentielle ni x ne sont nuls, entre parenthèses tout tend vers 1 en l'infini)

 

Or,   image.png.5c70dc79818d80b4557ece1086bd1fc4.png     .  Le premier facteur est de type image.png.33dce1647dc19e3644d435b202e88bc4.png et tend vers l'infini, le second tend vers 2 . 

 

Au final, image.png.556ef938ebb13fa67d3fed7b4a1cdb8d.png   , par comparaison f tend donc aussi vers image.png.06cc3be8b18750b840302336e488334d.png

 

Qu'en pensez- vous ?

 

 

Modifié par C8H10N4O2
Lien vers le commentaire
Partager sur d’autres sites

  • E-Bahut

Obtenir le signe de e^{2x-1}-2*cos{x} n'est pas simple, pour ne pas dire infaisable quand on voit la forme de la dérivée sin(x)+2*e^(2x-1). Je pense qu'il faut utiliser une logiciel informatique ou une calculatrice et se limiter à une "conjecture".

Lien vers le commentaire
Partager sur d’autres sites

il y a 13 minutes, pzorba75 a dit :

Obtenir le signe de e^{2x-1}-2*cos{x} n'est pas simple, pour ne pas dire infaisable quand on voit la forme de la dérivée sin(x)+2*e^(2x-1). Je pense qu'il faut utiliser une logiciel informatique ou une calculatrice et se limiter à une "conjecture".

Oui c'est ce que je me disais mais c'est étonnant car je tire cette question d'un exo a priori destiné à des élèves de Terminale... 1896963669_Capturedcran2021-12-0316_28_18.png.70a8c5753a085601672027e6c7fd7dfd.png

Lien vers le commentaire
Partager sur d’autres sites

  • E-Bahut

Bonsoir,

Ça n'engage que moi, mais, vu que c'est destiné à un élève de terminale (et même si c'était à un niveau supérieur), je pense que ce qu'on en attend, c'est un calcul approché du numérateur destiné à montrer qu'il est négatif puis une détermination des limites en fonction du signe du dénominateur, suivant qu'il x tend vers -5 par valeur inférieure ou supérieure. En tout cas, une interprétation à partir des différentes fonctions précédentes ne permet en aucun cas de conclure ici, contrairement à ce qui se passait pour les questions précédentes.

Lien vers le commentaire
Partager sur d’autres sites

il y a 15 minutes, julesx a dit :

Bonsoir,

Ça n'engage que moi, mais, vu que c'est destiné à un élève de terminale (et même si c'était à un niveau supérieur), je pense que ce qu'on en attend, c'est un calcul approché du numérateur destiné à montrer qu'il est négatif puis une détermination des limites en fonction du signe du dénominateur, suivant qu'il x tend vers -5 par valeur inférieure ou supérieure. En tout cas, une interprétation à partir des différentes fonctions précédentes ne permet en aucun cas de conclure ici, contrairement à ce qui se passait pour les questions précédentes.

C'est manifestement le cas mais les énoncés de ce niveau parlent en général dans ce cas de figure de conjecture et on rencontre davantage cet aspect en début d'exercice habituellement. Là il est demandé de "déterminer" les limites autour de -5 . Étrange, on ne demande normalement pas à un élève de justifier un raisonnement sur les limites en utilisant une valeur approchée d'une expression, à moins de l'avoir précisément guidé dans ce sens...

Lien vers le commentaire
Partager sur d’autres sites

Il y a 3 heures, pzorba75 a dit :

Pour la limite en -5, il faut peut-être se satisfaire de 2<e<3 pour conclure sur le signe du dénominateur et obtenir les limites à droite et à gauche. Cet exercice est mal posé. 

Oui je suis d'accord, mais je n'en étais pas sûr avant de lire vos réponses. Merci  à tous.

Lien vers le commentaire
Partager sur d’autres sites

il y a 17 minutes, julesx a dit :

Bonjour,

Je ne vois en quoi le fait de voir que 2<e<3 permet de conclure sur le signe du numérateur. C'est bien ce dernier qui posait problème. Mais bon...

Je dirais quant à moi quelque chose de ce genre :

Soit image.png.981f79c3e503329b43320e2f05f57304.png   

image.png.a0795adfa1ed06974db55ae461143932.png

Et je laisserais le soin au correcteur d'être convaincu 😁

Lien vers le commentaire
Partager sur d’autres sites

  • E-Bahut

Ceci suppose quand même au minimum que -2cos(-5) soit négatif. Mais ça, on peut le justifier :
-2
π<-5<-3π/2 => comme cos(x) est décroissant sur cet intervalle, cos(-2π)>cos(-5)>cos(-3π/2) soit 1>cos(-5)>0.
Par contre, même si e-11 est petit devant 1, il reste à prouver que cos(-5) s'écarte suffisamment de cos(-3π/2) pour que le numérateur soit bien négatif.
 

Lien vers le commentaire
Partager sur d’autres sites

Rejoindre la conversation

Vous pouvez publier maintenant et vous inscrire plus tard. Si vous avez un compte, connectez-vous maintenant pour publier avec votre compte.

Invité
Répondre à ce sujet…

×   Collé en tant que texte enrichi.   Coller en tant que texte brut à la place

  Seulement 75 émoticônes maximum sont autorisées.

×   Votre lien a été automatiquement intégré.   Afficher plutôt comme un lien

×   Votre contenu précédent a été rétabli.   Vider l’éditeur

×   Vous ne pouvez pas directement coller des images. Envoyez-les depuis votre ordinateur ou insérez-les depuis une URL.

Chargement
 Share

×
×
  • Créer...
spam filtering