Etude de fonctions

[angelV]

Bonjour, actuellement étudiant en ingénierie informatique et industrielle, je possède beaucoup d'heures de cours en maths.

J'ai de nombreuses lacunes dans cette matière et j'espère obtenir encore de l'aide ici...

Je vous présente ci-joint mon exo d'entrainement sur l'étude de fonctions numériques.

Merci d'avance pour votre aide apportée.

 

[julesx]

Bonsoir,

Un peu d'aide en attendant qu'un vrai matheux se manifeste.

1) Arctan(u(x)) est défini sur tout intervalle ou u(x) est défini.
u(x)=2x/(1-x²) n'est pas défini pour x²=1 soit x=±1.
Donc le domaine de définition de f(x) est R/{±1}.

2) La fonction arctan(u(x)) est dérivable sur le domaine de définition de u(x) et la dérivée de arctan (u(x)) est u'(x)/(1+u(x)²).
Je te laisse faire le calcul et vérifier qu'on obtient 2/(1+x²)

3) En +∞ et -∞, 2x/(1-x²) vaut 0, donc l'arctan vaut également 0.

4) f(0)=0.

5) Je ne sais pas, pas assez matheux pour savoir ce qu'il faut répondre à ce type de comportement (discontinuités en -1 et +1).

6) Non, car discontinuité en -1 et +1.

Bonsoir.

 

[C8H10N4O2]

Bonjour,

Pour la question 6, il convient de déterminer si la fonction admet la même limite de part et d'autre de la valeur où elle est discontinue. Si c'est le cas alors elle peut être "prolongée par continuité" .

Pour info, arctan(u) tend vers pi/2 quand u tend vers l'infini positif et vers -pi/2 quand u tend vers l'infini négatif.

[PAVE]

Bonsoir,

Quelques images qui confirment les indications déjà données.

Pour la question 5, je ne comprends pas 😢.

Pour la 6, d'accord avec @C8H10. Dans la 2ème figure (peut-être sans intérêt), j'ai "bouché les trous"....

Sauf erreur la fonction donnée est impaire ; le petit bout de courbe entre -1 et 1 a pour équation g(x)=f(-x)

Il y a si longtemps que je n'ai pas "rencontré" ce genre de fonction.... 🐭

 

 

[julesx]

Bonsoir,

La fonction est bien impaire, f(-x)=arctan[-2x/(1-(-x)²)]=-arctan[2x/(1-x²)] car arctan(-u)=-arctan(u). Donc on a bien f(-x)=-f(x).

Par contre, j'aimerais bien connaître la réponse à la question 5). Bêtement, je dirais que, sur son domaine de définition, f(x) est égale à arctan[2x/(1-x²)].

[Black Jack]

Bonjour,

Peut-être que ce qui est attendu pour la question 5 (qui n'est pas très explicite) est ceci :

f(x) = 2*arctan(x) + Pi pour x dans ]-oo ; -1[
f(x) = 2*arctan(x) pour x dans ]-1 ; 1[
f(x) = 2*arctan(x) - Pi pour x dans ]1 ; +oo[

[julesx]

Je veux bien mais quel intérêt ? En plus, le "alors" fait théoriquement suite à a question précédentes "Calculer f(0)"...

 

[Black Jack]

Il y a 13 heures, julesx a dit :

Je veux bien mais quel intérêt ? En plus, le "alors" fait théoriquement suite à a question précédentes "Calculer f(0)"...

 

Comme je l'ai écrit, la demande 5 n'est pas très explicite.

J'ai proposé ce qui me semble le moins débile.

Ces expressions sont plus simples avec un simple arctan(x) agrémenté d'une constante variant dans les différentes parties du domaine de définition (non connexe).

Quant à l'intérêt de la chose, il est évidemment très limité ...  sans savoir ce qui se passait dans la tête de celui qui a pondu l'énoncé.

Si il avait en tête de tester les étudiants sur les dangers des primitives avec des fonctions définies dans des domaines non connexes, alors cela a tout son sens , mais de la manière dont la question est posée, l'intention est tellement bien cachée que cela devient plus de la divination qu'autre chose.

****

Si l'idée est bien celle mentionnée ci-dessus, alors ...

Pour le calcul de f(0) ... cela peut-être parce que :

A partir de f'(x) = 1/(1+x²), cela saute aux yeux (ou devrait) que en "primitivant", on arrive à f(x) = arctan(x) + K

et demander de calculer f(0) doit servir à trouver la valeur de K dans la partie du domaine de définition comprenant x = 0, soit dans ]-1 ; 1[ ... et par là faire penser que K doit aussi être calculé pour les autres parties du domaine de définition non connexe.

Ce devrait être un réflexe pour les étudiants en supérieur (constantes différentes dans les différentes parties d'un domaine non connexe).

Ceci dit, je suis peut-être (ou pas) à 100 lieues de la motivation de l'auteur de l'énoncé.