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cos(5*pi/12)


pzorba75
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  • E-Bahut

Bonjour à tous,

je suis sur un problème calculant le cosinus de 5*pi/12 en utilisant les nombres complexes (Maths Expertes). J'obtiens  cos(5*pi/12)=1/(2*sqrt(2+sqrt(3))) alors que je dois trouver (sqrt(6)-sqrt(2))/4. Ces deux valeurs donnent le même nombre et me paraissent correctes. Mais je ne trouve pas les opérations pour passer de l'une à l'autre. 

Ma question : comment passer de cos(5*pi/12)=1/(2*sqrt(2+sqrt(3))) à cos(5*pi/12)=(sqrt(6)-sqrt(2))/4.

Merci d'avance aux "professionnels" du calcul numérique et bonnes vacances..

 

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  • E-Bahut

Bonjour,

Je ne suis pas "professionnel" mais j'ai trouvé sur la toile la démarche pour obtenir directement la deuxième expression :

cos(5π/12)=cos(π/6+π/4) qu'on développe et qu'on remplace par les cosinus et les sinus de π/6 et de π/4.

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Bonjour,

X = cos(5*pi/12)=1/(2*sqrt(2+sqrt(3))) 

X > 0 (1)

X² = [1/(2*sqrt(2+sqrt(3)))]² = 1/(4*(2+sqrt(3))) = (1/4) * (2-sqrt(3))/](2+sqrt(3)).(2-sqrt(3))]

X² = (1/4) * (2-sqrt(3))/(2²- 3)

X² = (2-sqrt(3))/4

X² = (8 - 4sqrt(3))/16

X² = (8 - 2.sqrt(12))/16

X² = (6 - 2sqrt(12) + 2)/16

X² = (sqrt(6) - sqrt(2))²/16

Et avec (1) -->  X = (sqrt(6) - sqrt(2))/4

 

 

 

 

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  • E-Bahut

Tant qu'on y est ...

L'idée de Black Jack était de chercher la racine carrée de √(2-√3)/2=√[1/2-√3/4].  Une méthode quelquefois suggérée dans la littérature est de chercher la racine d'une telle expression sous la forme a-b√3 et de procéder par identification des carrés.

1/2-√3/4=a²+3b²-2ab√3 => a²+3b²=1/2 ab=1/8
Par élimination de b entre les deux relations, il vient a4-a²/2+3/64=0, équation bicarrée dont on retient la solution "qui va bien", c'est à dire a=√3/(2√2)=√6/4 qui donne b=√2/(4√3).

De la à penser qu'un élève de terminale, même expert, est capable sans aide de faire cela...
 

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  • E-Bahut
il y a 41 minutes, julesx a dit :

Tant qu'on y est ...

L'idée de Black Jack était de chercher la racine carrée de √(2-√3)/2=√[1/2-√3/4].  Une méthode quelquefois suggérée dans la littérature est de chercher la racine d'une telle expression sous la forme a-b√3 et de procéder par identification des carrés.

1/2-√3/4=a²+3b²-2ab√3 => a²+3b²=1/2 ab=1/8
Par élimination de b entre les deux relations, il vient a4-a²/2+3/64=0, équation bicarrée dont on retient la solution "qui va bien", c'est à dire a=√3/(2√2)=√6/4 qui donne b=√2/(4√3).

De la à penser qu'un élève de terminale, même expert, est capable sans aide de faire cela...
 

C'est en "aidant" un élève de Maths Expertes et en lui proposant des exercices délicats que je suis tombé sur cette question que je trouve très difficile vu le contexte de l'exercice. 

 

Il y a 3 heures, Boltzmann_Solver a dit :

Bonjour à tous,

Une autre approche pour le fun, compatible avec le programme de maths EXP.

BS

Calcul_-_Scientia_Terrae__g_non-Linux-generated_files-job_425-crop.pdf 24 Ko · 3 téléchargements

Cet exercice est proposé sans connaître la forme exponentielle des nombres complexes ni les formules d'addition en trigonométrie.  

Vous n'apparaissez plus souvent sur ce forum, lassitude ou sur-activité par ailleurs ?

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  • E-Bahut

C'est plus l'excès de travail. Je me suis enquillé tous les nouveaux programmes du lycée en physique-chimie, plus un nombre important d'HSA, plus une grosse demande de cours particuliers avec le COVID. Cela ne m'incite pas à refaire des maths ou de la physique après ma journée.

Pour finir, j'ai accumulé pas mal de fatigue. Donc, je ne pense pas beaucoup participer cette année hormis en physique à l'occasion. Mais il m'arrive de passer pour voir ce qu'y s'y passe.

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  • E-Bahut
il y a 40 minutes, pzorba75 a dit :

C'est en "aidant" un élève de Maths Expertes et en lui proposant des exercices délicats que je suis tombé sur cette question que je trouve très difficile vu le contexte de l'exercice. 

Entièrement d'accord, sans aucune aide je ne vois pas comment un élève pourrait arriver à trouver la forme finale donnée par l'énoncé.

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  • E-Bahut
il y a une heure, Boltzmann_Solver a dit :

C'est plus l'excès de travail. Je me suis enquillé tous les nouveaux programmes du lycée en physique-chimie, plus un nombre important d'HSA, plus une grosse demande de cours particuliers avec le COVID. Cela ne m'incite pas à refaire des maths ou de la physique après ma journée.

Pour finir, j'ai accumulé pas mal de fatigue. Donc, je ne pense pas beaucoup participer cette année hormis en physique à l'occasion. Mais il m'arrive de passer pour voir ce qu'y s'y passe.

Je prends tout cela comme de bonnes nouvelles. Les demandes sur e-bahut sont peu nombreuses, rarement suivies par les demandeurs, les élèves sont très décontractés devant les efforts pour apprendre.

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Il y a 15 heures, julesx a dit :

Entièrement d'accord, sans aucune aide je ne vois pas comment un élève pourrait arriver à trouver la forme finale donnée par l'énoncé.

Si on connait le départ et l'arrivée, on élève les 2 expressions au carré et c'est quasi fait ...

X1 = 1/(2*sqrt(2+sqrt(3))) > 0

X1² = 1/(4*(2+sqrt(3))

Multiplier par le "conjugué ... (classique)

 X1² = (2-sqrt(3))/(4*(2+sqrt(3)).(2-sqrt(3))) 

X1² = (2-sqrt(3))/(4*(4-3)) 

 X1² = (2-sqrt(3))/4   (1)

X2 = (sqrt(6) - sqrt(2))/4 > 0

X2² = (6 + 2 - 2.sqrt(12))/16 = (8 - 4.sqrt(3))/16 = (2 - sqrt(3))/4 (2)

(1) et (2) --> X1² = X2² et comme X1 et X2 > 0 --> X1 = X2

Si on n'est pas censé connaître l'expression d'arrivée, on ne peut pas procéder ainsi.

Il me semble,  qu'il y a bien longtemps, on faisait ce genre de manipulation dans l'équivalent de la Seconde (mais ce n'était pas en France).

 

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Il y a 4 heures, pzorba75 a dit :

Peut-être en seconde? Mais si c'était en France, c'était il y a bien longtemps, avant 1964 pour sûr.

Ce n'était pas en France, mais c'était la bonne "époque" , avec 8 heures (de 60 minutes) par semaine de mathématiques les 3 dernières années de secondaire et les premières années avec 5 heures (de 60 minutes) par semaine de mathématiques... en section "Scientifique A" qui correspond à "Math fortes".

Et évidemment 8 heures (de 60 minutes) hebdomadaires de mathématiques est bien plus "costaud" que les souvent 5 périodes de 50 ou 55 minutes actuelles en mathématiques. 

Et c'était aussi l'époque où on n'ajustait pas les difficultés ou la manière de coter pour avoir le taux de réussite "adéquat".

Ceci explique cela. 

 

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