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Raisonnement par récurrence


Dada69
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Bonjour, je bloque sur toute la question N°3. Si vous pouviez m’aider. Cordialement 

Merci d'avance pour votre aide:

3. Soit f la fonction définie sur J=[0; +∞[ 𝑓(𝑥) = 3-1/x+1.

    a. Calculer f' la fonction dérivée de f et en déduire le sens de variation de f sur J.

    b. On considère la suite (U𝑛)définie pour tout entier naturel n par Un+1= f(U𝑛) et Uo=5. En utilisant le résultat de la question précédente, et en utilisant un raisonnement par récurrence,          montrer que U𝑛 ≥ 0 et déterminer le sens de variation de la suite (U𝑛)

   c. Démontrer que la suite (U𝑛) converge 

   d. déterminer la limite L de cette suite .

Modifié par Dada69
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  • E-Bahut

Bonsoir,

Comme c'est toujours en cours, un peu d'aide ?

3)a) f'(x)=1/(x+1)² (j'espère que je ne t'apprends rien), donc f'(>0 sur J et f(x) uniformément croissante (idem). f(0)=2, x->∞ => f(x)->∞ donc f(x)>0 x.

b) U0>0 Initialisation OK
Un>0 => f(Un)>0 => Un+1>0 Hérédité OK => Un>0 (a fortiori >=0)

U1=2 => U1>U Initialisation OK
Un<Un+1 => f(Un)<f(Un+1) (car f(x) croissante => Un+2<Un+1 Hérédité OK => suite décroissante.

c) Voir cours, suite décroissante minorée.

d( La limite vérifie L=3-1/(1+L). Je te laisse terminer.

 

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  • E-Bahut

Bonjour,

Une alternative à 3)b).

Un+1-Un=3-1/(Un+1)-Un=(-Un²+2Un+2)/(Un+1)
Un+1>0 puisque Un est positif
-Un²+2Un+2 est négatif pour Un>1+√3 ce qu'on ne sait pas a priori, mais qu'on peut démontrer par récurrence.

Initialisation
5>1+√3
Initialisation OK
Hérédité
Un>1+√3 => Un+1>2+√3 => 1/(2+√3)>1/(Un+1) => -1/(2+√3)<-1/(Un+1) => 3-1/(2+√3)<3-1/(Un+1) => Un+1>3-1/(2+√3)
Je te laisse vérifier que 3-1/(2+√3)=1+√3, donc Un+1>1+√3
Hérédité OK

On a donc bien Un+1-Un<0 et la suite est décroissante.

 

 

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