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DM - Intégration


Blablafnc
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Bonjour à tous,

J'aurai besoin d'aide pour cet exercice que je ne vois pas du tout comment résoudre. C'est un dm sur les intégrales. Merci d'avance pour vos réponses !

 

On rappelle que sur l’intervalle [0; 2], 𝑒 𝑥 ≥ 𝑥.

On se place dans un repère orthonormé. On note 𝐶 la courbe de la fonction exponentielle et soit 𝐷 la droite d’équation 𝑦 = 𝑥.

Déterminer, en unités d’aire, l’aire du domaine délimité par la courbe 𝐶, la droite 𝐷, l’axe des ordonnées et la droite d’équation 𝑥 = 2.

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  • E-Bahut
il y a 51 minutes, Blablafnc a dit :

On rappelle que sur l’intervalle [0; 2], 𝑒 𝑥 ≥ 𝑥.

Je suppose que l'énoncé est exp(x)>=x qui peut s'écrire aussi e^x≥ 𝑥 ou encore ex≥ 𝑥 ??

Et pas le produit du nombre e :environ:2,71828 par x....

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il y a 29 minutes, PAVE a dit :

Je suppose que l'énoncé est exp(x)>=x qui peut s'écrire aussi e^x≥ 𝑥 ou encore ex≥ 𝑥 ??

Et pas le produit du nombre e :environ:2,71828 par x....

Oui effectivement c'est exp(x) ou e^x

il y a 3 minutes, julesx a dit :

Vu le contexte, c'est forcément ex≥ 𝑥. Par contre, je ne vois pas ce qui arrête Blablafnc, il s'agit d'un simple calcul d'intégrale définie entre 0 et 2 de la fonction ex-𝑥.

Comme j'ai pas la visualisation graphique, je n'arrive pas à me projeter 

C'est pas évident pour tout le monde

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  • E-Bahut
il y a 6 minutes, Blablafnc a dit :

Comme j'ai pas la visualisation graphique, je n'arrive pas à me projeter 

Tu n'as pas de calculette pour tracer les courbes y=ex et y=x ? Ou, mieux, un logiciel type Geogebra ? L'aire cherchée est la portion de plan comprise entre les deux courbes et les axes verticaux x=0 et x=2.

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  • E-Bahut

Comme te l'a dit Jules, c'est du cours... presque à l'état pur 🤓.

Tu dois avoir dans ton cours ou dans ton livre un paragraphe t'expliquant comment avec une intégrale, on peut calculer l'aire d'une portion de plan. Un théorème formalisant la démarche ? Que dit-il ??

Tu dois avoir aussi quelques exemples élémentaires.

Je te propose pour introduire la suite de ton exercice, de nous dire comment dans la figure ci-dessous, tu calcules l'aire de la portion de plan "colorée".

Essaye et dis nous ta démarche et si possible ton résultat....🙄.

image.png.6727c11850e51eb7a786500604fc52d7.png

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c'est effectivement du cours , revoyons ça en deux étapes:

1)imagine un petit rectangle de largeur  :delta:x et de longueur f(x), ce rectangle étant situé  autour du point d'abcisse x sur l'axe des x , point dont l'image est y=f(x) sur la courbe. La surface de ce rectangle "élémentaire" (très petit) est f(x).:delta:x (longueur par largeur). une surface comme celle qui est montrée par Pave est la somme de ces petits rectangles :somme: .f(x) :delta:x  dans la zone coloriée; 

La fonction f(x) est continue et il y a donc ( il faut l'admettre) une infinité de petits rectangles de largeur infiniment petite dx (et non plus une somme de rectangle numérotés avec des nombres entiers d'où le changement de notation de :delta: en "d " ). La surface devient alors la somme "intégrale" de tous ces petits rectangles , et on la note :derive:f(x) .dx (entre les bornes extrêmes , donc, par exemple dans le graphe de Pave entre 0 et 2.

2) La dérivée de la fonction quelconque g(x) est définie par (voir cours sur la dérivée) lim quand  :delta:x ------> 0 du rapport :delta:y/:delta:x et on la note :

fonction g'(x) = dg(x)/dx (ou dy/dx puisque y = g(x) pour tous les points de la courbe représentative de la fonction g(x))

Revenons à notre fonction f(x) la primitive F(x) de la fonction f(x) est par définition, telle que dF/dx = f(x) et donc ceci explique que tu fais  :derive:f(x) .dx entre les bornes de l'intégrale pour calculer la surface sous la courbe et que ça peut donc s'écrire :derive:dF entre ces bornes ou encore F(b)-F(a) (avec les notations usuelles). Tu as certainement vu en cours que l'intégrale (en fait "somme intégrale") de a à b de f(x) dx est la différence :

"primitive de f(x) en b   -   primitive de f(x) en a " , ce que j'ai noté F(b) -F(a)

Ce qui précède est, en simplifié, la définition de l'intégrale qui doit dater de Gauss  ou Euler ou un autre génie  : un vrai matheux le fait plus rigoureusement si on veut pinailler ( et les matheux ont raison de pinailler)  mais  ce que j'ai dit est globalement exact et si tu l'as pigé, tu peux voir que ton problème, c'est le calcul de :derive:e^x dx entre 0 et 2 qui de donne l'aire entre la courbe de l'exponentielle, l'axe Oy, l'axe Ox et la droite verticale x=2. Ensuite pour le résultat final,  il suffit de soustraire l'aire du triangle délimité par la droite y=x (cette aire vaut 4/2 =2  , c'est le demi carré de côté 2)

 

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