DM - Intégration

[Blablafnc]

Bonjour à tous,

J'aurai besoin d'aide pour cet exercice que je ne vois pas du tout comment résoudre. C'est un dm sur les intégrales. Merci d'avance pour vos réponses !

 

On rappelle que sur l’intervalle [0; 2], 𝑒 𝑥 ≥ 𝑥.

On se place dans un repère orthonormé. On note 𝐶 la courbe de la fonction exponentielle et soit 𝐷 la droite d’équation 𝑦 = 𝑥.

Déterminer, en unités d’aire, l’aire du domaine délimité par la courbe 𝐶, la droite 𝐷, l’axe des ordonnées et la droite d’équation 𝑥 = 2.

[PAVE]

il y a 51 minutes, Blablafnc a dit :

On rappelle que sur l’intervalle [0; 2], 𝑒 𝑥 ≥ 𝑥.

Je suppose que l'énoncé est exp(x)x qui peut s'écrire aussi e^x≥ 𝑥 ou encore e^x≥ 𝑥 ??

Et pas le produit du nombre e 2,71828 par x....

[julesx]

Vu le contexte, c'est forcément e^x≥ 𝑥. Par contre, je ne vois pas ce qui arrête Blablafnc, il s'agit d'un simple calcul d'intégrale définie entre 0 et 2 de la fonction e^x-𝑥.

[Blablafnc]

il y a 29 minutes, PAVE a dit :

Je suppose que l'énoncé est exp(x)x qui peut s'écrire aussi e^x≥ 𝑥 ou encore e^x≥ 𝑥 ??

Et pas le produit du nombre e 2,71828 par x....

Oui effectivement c'est exp(x) ou e^x

il y a 3 minutes, julesx a dit :

Vu le contexte, c'est forcément e^x≥ 𝑥. Par contre, je ne vois pas ce qui arrête Blablafnc, il s'agit d'un simple calcul d'intégrale définie entre 0 et 2 de la fonction e^x-𝑥.

Comme j'ai pas la visualisation graphique, je n'arrive pas à me projeter 

C'est pas évident pour tout le monde

[julesx]

il y a 6 minutes, Blablafnc a dit :

Comme j'ai pas la visualisation graphique, je n'arrive pas à me projeter 

Tu n'as pas de calculette pour tracer les courbes y=e^x et y=x ? Ou, mieux, un logiciel type Geogebra ? L'aire cherchée est la portion de plan comprise entre les deux courbes et les axes verticaux x=0 et x=2.

[PAVE]

Comme te l'a dit Jules, c'est du cours... presque à l'état pur 🤓.

Tu dois avoir dans ton cours ou dans ton livre un paragraphe t'expliquant comment avec une intégrale, on peut calculer l'aire d'une portion de plan. Un théorème formalisant la démarche ? Que dit-il ??

Tu dois avoir aussi quelques exemples élémentaires.

Je te propose pour introduire la suite de ton exercice, de nous dire comment dans la figure ci-dessous, tu calcules l'aire de la portion de plan "colorée".

Essaye et dis nous ta démarche et si possible ton résultat....🙄.

[volcano47]

c'est effectivement du cours , revoyons ça en deux étapes:

1)imagine un petit rectangle de largeur  x et de longueur f(x), ce rectangle étant situé  autour du point d'abcisse x sur l'axe des x , point dont l'image est y=f(x) sur la courbe. La surface de ce rectangle "élémentaire" (très petit) est f(x).x (longueur par largeur). une surface comme celle qui est montrée par Pave est la somme de ces petits rectangles  .f(x) x  dans la zone coloriée; 

La fonction f(x) est continue et il y a donc ( il faut l'admettre) une infinité de petits rectangles de largeur infiniment petite dx (et non plus une somme de rectangle numérotés avec des nombres entiers d'où le changement de notation de  en "d " ). La surface devient alors la somme "intégrale" de tous ces petits rectangles , et on la note f(x) .dx (entre les bornes extrêmes , donc, par exemple dans le graphe de Pave entre 0 et 2.

2) La dérivée de la fonction quelconque g(x) est définie par (voir cours sur la dérivée) lim quand  x ------> 0 du rapport y/x et on la note :

fonction g'(x) = dg(x)/dx (ou dy/dx puisque y = g(x) pour tous les points de la courbe représentative de la fonction g(x))

Revenons à notre fonction f(x) : la primitive F(x) de la fonction f(x) est par définition, telle que dF/dx = f(x) et donc ceci explique que tu fais  f(x) .dx entre les bornes de l'intégrale pour calculer la surface sous la courbe et que ça peut donc s'écrire dF entre ces bornes ou encore F(b)-F(a) (avec les notations usuelles). Tu as certainement vu en cours que l'intégrale (en fait "somme intégrale") de a à b de f(x) dx est la différence :

"primitive de f(x) en b   -   primitive de f(x) en a " , ce que j'ai noté F(b) -F(a)

Ce qui précède est, en simplifié, la définition de l'intégrale qui doit dater de Gauss  ou Euler ou un autre génie  : un vrai matheux le fait plus rigoureusement si on veut pinailler ( et les matheux ont raison de pinailler)  mais  ce que j'ai dit est globalement exact et si tu l'as pigé, tu peux voir que ton problème, c'est le calcul de e^x dx entre 0 et 2 qui de donne l'aire entre la courbe de l'exponentielle, l'axe Oy, l'axe Ox et la droite verticale x=2. Ensuite pour le résultat final,  il suffit de soustraire l'aire du triangle délimité par la droite y=x (cette aire vaut 4/2 =2  , c'est le demi carré de côté 2)