Loi binomiale et calculatrice.

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous ,

J'aimerais comprendre une chose : Lors de l'étude d'une loi de probabilité binomiale, pourquoi doit-on forcément l'exprimer sous la forme  lorsqu'on veut utiliser la calculatrice ? (Et non pas p(X > k) par exemple) 

Ex : soit X une variable qui suit la loi binomiale B(5 ; 0,2) . Pour calculer p(X > 3) , je dois passer par la probabilité de l'évènement contraire et calculer 1 - . 

Merci d'avance pour vos réponses !

[PAVE]

Bonsoir,

Je ne comprends pas ton problème. Si n n'est pas très grand, un calcul exacte est faisable....

Si la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n (nombre de répétitions de l'épreuve de Bernoulli) et p (probabilité d'un succès lors de l'épreuve de Bernoulli), la formule qui donne la probabilité d'obtenir k succès (donc k est un entier !) au cours des n répétitions est : P(X=k).

Pour calculer des probabilités que Xk [ou en adaptant X>k], on décompose l'événement (Xk) en la réunion de (k+1) événements 2 à 2 incompatibles

(Xk)= (X=0)U(X=1)U.... (X=k-1)U(X=k) et donc

P(Xk)= P(X=0)+P(X=1)+.... +P(X=k-1)+P(X=k)

Il n'y a pas de formule donnant directement et exactement P(Xk)

Exple avec n =10 !!:

X suit B(10; 0,25)

P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

Par contre pour 

P(X<9) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) +..... +P(X=8)  Bonjour la galère : 9 termes à calculer et à additionner ! On préférera dans ce cas

P(X<9) = 1-P(X9) événements contraires
             =  1 - [ P(X=9) + P(X=10)] seulement 2 termes à calculer puis à soustraire

APRES bien sûr -si n est grand-  on peut approximer avec, par exemple, une loi normale si les valeurs de n et p le justifient et le permettent....
mais c'est une autre affaire.

Pas sûr que cela réponde à ta question 

[julesx]

Bonjour,

Les enseignants de maths confirmeront ou infirmeront, mais il me semble qu'a priori, l'étude part de p(X<=k), donc les concepteur de calculettes ont dû considérer qu'il était inutile de rajouter la possibilité p(X>k) puisque la somme des deux fait 1.

Cela dit, j'ai vu que Numworks offre les deux, enfin pas tout à fait, les options sont p(X<=k) et p(X>=k). Pour éviter aux élèves d'avoir à passer par p(X>k)=1-p(X<=k-1) ?

[PAVE]

En complément à mon précédent message....

Citation

Ex : soit X une variable qui suit la loi binomiale B(5 ; 0,2) . Pour calculer p(X > 3) , je dois passer par la probabilité de l'évènement contraire et calculer 1 - . 

1ère méthode : P(X>3) = P(X=4) + P(X=5)

2ème méthode : P(X>3) = 1-P(X3) = 1- [P(X=0) + P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)]
"A la main", mieux vaut la 1ère méthode !! 

Mais j'allais le dire quand Jules est venu confirmer mon "sentiment", les calculatrices actuelles (donc pas les miennes  qui ne donnent rien pour la loi Binomiale) ne donnent que P(X<k) !!!

 

[julesx]

il y a 46 minutes, PAVE a dit :

Mais j'allais le dire quand Jules est venu confirmer mon "sentiment", les calculatrices actuelles (donc pas les miennes  qui ne donnent rien pour la loi Binomiale) ne donnent que P(X<k) !!!

Bonsoir PAVE,

Juste une rectification, c'est P(x<=k), ! Ma calculette (TI  85) non plus ne comporte pas cette fonction, mais elle a le mérite de toujours fonctionner à 100%, d'avoir une fonctionnalité de touches programmables et quelques facilités pour d'autres options que je n'ai pas retrouvé ailleurs.

 

[C8H10N4O2]

Merci à tous pour vos réponses !🙂