Forme algébrique d’un nombre complexe

[jer0mefnatik]

Bonjour je suis actuellement bloqué lors de la réalisation de mon dm(facultatif), je sollicite donc votre aide. Ayant des problèmes de compréhensions des cours a distance je me vois dans l’incompréhension face a ce travail. Je ne comprend pas al totalité de l’exercice 2 et 4 ainsi que la deuxième partie de l'exercice 3 oui il faut que f(z)=0

 

Merci d'avance pour votre aide <3 :)

Passez une bonne journée

 

[pzorba75]

Pour Le 3-2, il faut résoudre dans Z z^2-4z+13=0, soit z1=2-3i et z2=2+3i ce qui donne avec la forme factorisée z^2-4z+13=(z-2-3i)(z-2+3i) et finalement f(z)=g(z) pour tout complexe z.

La suite est assez proche.

J'ai choisi le 3-2 par paresse, les autres demandent plus de calculs que je te laisse faire et présenter si tu veux être aidé.

 

[Black Jack]

Bonjour,

 

Ex4 

1)
z * z(bar) est un réel 0
Le dénominateur de z' est donc un réel 1 (donc jamais nul) ... et par là z' est bien féfini quel que soit le nombre z.

démo : soit z = a + ib, z(bar) = a - ib  
z * z(bar) = (a + ib) * (a - ib) = a² + b² ... qui est 0 comme somme de 2 carrés.
********
2)
soit z = x + iy
z² = x² - y² + 2i.xy

z' = (x² - y² + 2i.xy - 2i)/(x²+y²+1)
z' = (x² - y²)/(x²+y²+1) + 2i.(xy - 1)/(x²+y²+1)

z' est réel si sa partie imaginaire est nulle, donc si : (xy - 1)/(x²+y²+1) = 0
soit donc si x*y = 1  (1)
---
or (z(bar)-z)*(z(bar)+z) = (z(bar))² - z² = x²+y²-2.ixy - (x²+y²+2ixy) = -4ixy
et avec (1) : (z(bar)-z)*(z(bar)+z) = -4i

Pour moi, il y a une erreur d'énoncé (dans la question 2, le "4i" doit être "-4i")

3)
z' est réel si avec z = x+iy, on x*y = 1
Donc pour z = x + i * 1/x  (pour tout x non nul)
points dans le plan complexe de l'hyperbole d'équation y = 1/x

vérification:

Par exemple z = 5 + 0,2 i
z(bar) = 5 - 0,2.i
z' = [(5 + 0,2 i)² - 2i]/[(5 + 0,2 i) * (5 - 0,2 i) + 1)
z' = 24,96/26,04 ... qui est bien réel

et on a (z(bar) - z)(z(bar) + z) = ((5 - 0,2.i) - (5 + 0,2.i)) * ((5 - 0,2.i) + (5 + 0,2.i)) = -4i
... qui confirme l'erreur d'énoncé que j'ai indiquée.

********
 

[anylor]

bonjour

pour l'exercice 3

4)

g(z) = (z-4i)(z+4i)(z-3)(z+3)

tu reconnais l'identité remarquable a²-b²

(z²-16i²)(z²-9)  mais tu sais que i² = -1

=> g(z) =(z²+16)(z²-9)

tu développes et tu retrouves f(z)

tu te sers de la forme factorisée pour trouver les racines de f(z) =0

z²+16 = 0  ou   z² -9 = 0

S={-4i  ; 4i ; -3; 3}

 

 

Modifié le 1 avril 2021 par anylor

[julesx]

Bonjour,

Exercice 2

1) Tu utilises la formule du binôme appliquée à (x-y)ⁿ en remplaçant x et y par 1.

2) Tu sépares les valeurs paires de k de ses valeurs impaires.

Exercice 3 question 5

Tu développes (z+i)⁵ à l'aide de la formule du binôme, mais en remplaçant les coefficients binomiaux (n,k) par (n,n-k).

Ensuite, (z+i)⁵=0 est immédiat.