Devoir Maths

[Misawa]

Bonjour,

J'ai ce devoir à faire sur la géométrie vectorielle et les matrices et je ne l'ai pas vraiment compris, comment faire.

Si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider, me montrer comment faire ce serait gentil de votre part, de plus je dois le rendre en fin de matinée (nous avons 3h pour faire ces exercices, jusqu'à 13h).

Merci d'avance pour votre aide.

[Misawa]

Pour l'exercice 5 : 

[pzorba75]

Exo 3

A=D^n

 

Exo 5

A^(-1)=1/2(3 -1 1//3 -1 3//1 -1 3)

A^2=(-2 3 -3//-9 10 -9//3 3 2)

A^2=3A-2I

De cette relation tu obtiens A*(...)=I3 donc A est inversible et A^(-1)=(...)

Au travail.

[Misawa]

il y a une heure, pzorba75 a dit :

Exo 3

A=D^n

Exo 5

A^(-1)=1/2(3 -1 1//3 -1 3//1 -1 3)

A^2=(-2 3 -3//-9 10 -9//3 3 2)

A^2=3A-2I

De cette relation tu obtiens A*(...)=I3 donc A est inversible et A^(-1)=(...)

Au travail.

Comment justifier qu'il s'agit de la réponse A qui est correcte à l'exercice 3 ?

Pouvez-vous me donner la suite de ce que vous avez commencé pour l'exercice 4?

Ce que j'ai fait pour l'exercice 5 est ce juste pour la réponse ? @pzorba75

[Misawa]

Bonjour @volcano47, Vous pensez pouvoir m'aider pour l'exercice 1 et 4? s'il vous plait.

Pour l'exercice 2 :

[julesx]

OK pour 2) et 5). Pour 5), tu peux vérifier avec ta calculette.

Pour 3) Aⁿ=P^-1xDxPxP^-1xDxPx...P^-1xDxP  n produits

Tous les P^-1xP intermédiaires valent I₃ matrice unitaire 3x3 et les DxI valent D

=>

Aⁿ=P^-1xDⁿxP

donc réponse c).

1) Pas assez calé.

Pour 4) je regarde.

[Misawa]

@julesx C'est possible d'avoir le détail pour l'exercice 5 ? Car on va dire que je me suis aidé d'internet pour obtenir le résultat.

Mais merci pour le 3, oui c'est bien la réponse c. Si vous avez l'exercice 4 en entier, vous me sauvez !

[julesx]

Pour le 5), j'ai utilisé ma calculette ! On trouve sur Internet le détail du calcul avec les matrices, par exemple là

https://fr.wikihow.com/calculer-l'inverse-d'une-matrice-3x3

Pour le 4), j'ai commencé :

A²=

-2 3 -3

-9 10 -3

-3 3 -2

Pour identifier à a*A+b*I, il suffit d'identifier 2 fois un des 9 termes et vérifier l'égalité à la fin.

* Pour b

A²(3,3)=-2 A(3,3)=0 I(3,3)=1 donc b=-2

* pour a

A²(2,2)=3 A(2,2)=1 I(2,2)=0 donc a=3

On a bien A²=3*A-2*I

Mais là je m'absente à nouveau. Essaie de terminer.

 

[volcano47]

ex 5 : si tu as calculé A et A^ (-1) fais le produit pour voir si tu trouves I (matrice identité)

 

ex 1:

 u= (0,1,1), v =(1,0,1), w = (1,1,0) ils sont linéairement indépendants si Xu+Yv+Zw =0 implique X=Y=Z=0 

X(j+k) +Y(i+k) +Z (i+j) = (Y+Z) i +(X+Z)j + (X+Y)k =0 ; or (i,j,k) est une base de R3 donc les (Y+Z), ...composantes d'un vecteur nul sont donc nuls (i,j,k linéairement indépendants , en tant que base) ; tu vois assez facilement que ça implique X =Y =Z =0 car Y=Z ET Y= -Z etc... donc l'indépendance linéaire est démontrée. Reste à montrer que (u,v,w) est générateur, tel que tout vecteur de R3 est décomposable en une combinaison linéaire unique des trois (comme il l'est avec les (i,j,k). 

de toute façon faire le produit mixte (u,v,w) permet de dire s'il est différent de 0 que les vecteurs forment une base, directe si ce produit mixte est positif

Ici, on trouve 2 donc c'est une base directe . Orthogonale mais non normée (faire les produits scalaires tels que u.v , u² ) donc non orthonormée.

J'espère ne pas être approximatif, il y a longtemps que je n'ai pas mis le nez la dedans

[Misawa]

il y a 2 minutes, julesx a dit :

Pour le 5), j'ai utilisé ma calculette ! On trouve sur Internet le détail du calcul avec les matrices, par exemple là

https://fr.wikihow.com/calculer-l'inverse-d'une-matrice-3x3

Pour le 4), j'ai commencé :

A²=

-2 3 -3

-9 10 -3

-3 3 -2

Pour identifier à a*A+b*I, il suffit d'identifier 2 fois un des 9 termes et vérifier l'égalité à la fin.

* Pour b

A²(3,3)=-2 A(3,3)=0 I(3,3)=1 donc b=-2

* pour a

A²(2,2)=3 A(2,2)=1 I(2,2)=0 donc a=3

On a bien A²=3*A-2*I

Mais là je m'absente à nouveau. Essaie de terminer.

 

Pour l'exercice 4 : 

Merci, c'est ce que m'avait donné pzorba, vous ne pouvez pas me donner les réponses question 2 et 3 c'est sur celles là que je bloque précisément @julesx

il y a 4 minutes, volcano47 a dit :

ex 5 : si tu as calculé A et A^ (-1) fais le produit pour voir si tu trouves I (matrice identité)

 

ex 1:

 u= (0,1,1), v =(1,0,1), w = (1,1,0) ils sont linéairement indépendants si Xu+Yv+Zw =0 implique X=Y=Z=0 

X(j+k) +Y(i+k) +Z (i+j) = (Y+Z) i +(X+Z)j + (X+Y)k =0 ; or (i,j,k) est une base de R3 donc les (Y+Z), ...composantes d'un vecteur nul sont donc nuls (i,j,k linéairement indépendants , en tant que base) ; tu vois assez facilement que ça implique X =Y =Z =0 car Y=Z ET Y= -Z etc... donc l'indépendance linéaire est démontrée. Reste à montrer que (u,v,w) est générateur, tel que tout vecteur de R3 est décomposable en une combinaison linéaire unique des trois (comme il l'est avec les (i,j,k). 

de toute façon faire le produit mixte (u,v,w) permet de dire s'il est différent de 0 que les vecteurs forment une base, directe si ce produit mixte est positif

Ici, on trouve 2 donc c'est une base directe . Orthogonale mais non normée (faire les produits scalaires tels que u.v , u² ) donc non orthonormée.

J'espère ne pas être approximatif, il y a longtemps que je n'ai pas mis le nez la dedans

D'accord merci pour la question 1,

Arriverez-vous à faire la question 2? @volcano47

[julesx]

il y a 47 minutes, Misawa a dit :

Merci, c'est ce que m'avait donné pzorba, vous ne pouvez pas me donner les réponses question 2 et 3 c'est sur celles là que je bloque précisément

Il avait écrit exercice 5), donc je n'avais pas fait attention.

Pour l'exercice 2), tu utilises simplement les relations de transformation, non ?

Quant à l'exercice 3), je t'ai donné la justification..

 

[Misawa]

il y a 1 minute, julesx a dit :

pzorba avait écrit

Il avait écrit exercice 5), donc je n'avais pas fait attention.

Pour l'exercice 2), tu utilises simplement les relations de transformation, non ?

Quant à l'exercice 3), je t'ai donné la justification..

 

Non je vous parle des questions 2 et 3 de l'exercice 4 par des exercices 2 et 3. @julesx

[julesx]

Ah, OK.

2) A²=3*A-2*I

=> (3*A-A²)/2=I

=> Ax(3*I-A)/2=I

comme le produit de A par l'autre terme est égal à I, A est inversible et son inverse vaut A^-1=(3*I-A)/2.

En remplaçant, il vient A^-1=

3/2 -1/2 1/2

3/2 -1/2 3/2

1/2 -1/2 3/2

3) Tu transformes le système en relation matricielle

y-z=2

-3x+4y-3z=2

-x+y=-2

se met sous la forme

AxX=B

avec

A=

0 1 -1

-3 4 -3

-1 1 0

X=

x

y

z

B=

2

2

-2

AxX=B

=>

X=A^-1xB

que je te laisse calculer pour trouver x, y et z.

 

[Misawa]

il y a 1 minute, julesx a dit :

Ah, OK.

2) A²=3*A-2*I

=> (3*A-A²)/2=I

=> Ax(3*I-A)/2=I

comme le produit de A par l'autre terme est égal à I, A est inversible et son inverse vaut A^-1=(3*I-A)/2.

En remplaçant, il vient A^-1=

3/2 -1/2 1/2

3/2 -1/2 3/2

1/2 -1/2 3/2

3) Tu transformes le système en relation matricielle

y-z=2

-3x+4y-3z=2

-x+y=-2

se met sous la forme

AxX=B

avec

A=

0 1 -1

-3 4 -3

-1 1 0

X=

x

y

z

B=

2

2

-2

AxX=B

=>

X=A^-1xB

que je te laisse calculer pour trouver x, y et z.

 

Pouvez vous tout me donner s'il vous plait je n'ai plus que 15 minutes pour recopier et comprendre ce que vous avez fait, je n'ai pas le temps de finir l'exercice en plus.. s'il vous plait @julesx

[julesx]

Comme on ne peut pas écrire les matrices ici, je ne peux que te donner le résultat

Le produit A^-1xB vaut

1

-1

3

d'où

x=1

y=-1

z=-3

 

[Misawa]

Comment ca on ne peut pas écrire les matrices? Vous m'avez donné pourtant donné A^-1, merci beaucoup !

[julesx]

Ce que je voulais dire, c'est qu'on ne peut pas présenter les matrices sous la forme usuelle. Donc, écrire un produit de matrice sous forme développée est impossible ici.

[Misawa]

D'accord je vois, merci beaucoup pour votre aide précieuse!

[julesx]

De rien, bonne continuation.