Exercice Maths

[Yuuki19]

Bonjour,

J'aimerais de l'aide pour ce devoir, j'ai déjà fait la partie A , et voudrez des pistes d'aides pour les parties B et C.

Merci d'avance de votre aide.

[Barbidoux]

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Partie B
1-----------
n=1 ==> u1=f(1)=2/(1+√2) ==> 1/2≤ u1 ≤ 1
n=2 ==> u1=f(u1)=(2*√2-1)/(1+√(2*√2-1)) ==> 1/2≤ u2 ≤ 1
on suppose 1/2≤ un ≤ 1
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un>0
0<4*un^2+3*un
un<4*un^2+4*un
1+un<4*un^2+4*un+1
1+un<(2*un+1)^2
√(1+un)<2*un+1
1+√(1+un)<2*un+2
1/2< (un+1)/(1+√(1+un))=u_n+1
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un^2-un-1 est du signe du coefficient de un^2 à l'extérieur de ses racines qui sont (1-√5)/2 et (1+√5)/2 donc l'expression un^2-un-1<0 puisque un appartient à [1/2,1]

un^2-un-1<0
un^2<un+1
un<√(un+1)
1+un<1+√(un+1)
(un+1)/(1+√(1+un))=u_n+1<1

conclusion 1/2≤ u_n+1 ≤ 1, la relation étant héréditaire est valable pour toute valeur de n
2-----------
n=1 ==> u1=f(1)=2/(1+√2)
n=2 ==> u1=f(u1)=(2*√2-1)/(1+√(2*√2-1))
on suppose un< un-1  
1+un< 1+un-1
(1+un)/(1+√(1+un-1))< (1+un-1)/(1+√(1+un-1))
et comme
(1+un)/(1+√(1+un))< (1+un)/(1+√(1+un-1))< (1+un-1)/(1+√(1+un-1))
d'où
(1+un)/(1+√(1+un))< (1+un-1)/(1+√(1+un-1))
soit
un+1 < un
la relation étant héréditaire est valable pour toute valeur de n  et un+1< un
3-----------
La suite un étant décroissante et bornée converge. Lorsque n-> ∞ alors un+1 =un=a qui est solution de  un=f(un) ==> soit (1+un)/(√(1+un)+1)=un
un*√(1+un)-1)/(√(1+un)+1)=0
un=a est le le zéro du numérateur de cette fraction
un*√(1+un)-1)
dont on détermine la valeur numériquement (dichotomie) et qui vaut 0.754878

 

[bradur64]

Bonjour, quelqu'un à déjà fait la partie A ?

[julesx]

Cette partie a été traitée ici :

https://www.e-bahut.com/topic/54358-étude-dune-fonction/?tab=comments#comment-210699

 

[bradur64]

Merci beaucoup!

[bradur64]

Et la partie C a t elle été traitée ?

[pzorba75]

Pour la partie C :

Il suffit de dériver g, montrer que g'(x) est positive sur l'intervalle d''étude et conclure.

Ensuite, par conjecture vérifier que g prend des valeurs négatives et positives et démontrer la conjecture en appliquant le théorèmes des valeurs intermédiaires.