Aller au contenu
Yuuki19

Exercice Maths

Messages recommandés

image.png.96918b2d5589a9c2671135474d72355f.png

Bonjour,

J'aimerais de l'aide pour ce devoir, j'ai déjà fait la partie A , et voudrez des pistes d'aides pour les parties B et C.

Merci d'avance de votre aide.

Partager ce message


Lien à poster
Partager sur d’autres sites

--------------
Partie B
1-----------
n=1 ==> u1=f(1)=2/(1+√2) ==> 1/2≤ u1 ≤ 1
n=2 ==> u1=f(u1)=(2*√2-1)/(1+√(2*√2-1)) ==> 1/2≤ u2 ≤ 1
on suppose 1/2≤ un ≤ 1
-------------------
un>0
0<4*un^2+3*un
un<4*un^2+4*un
1+un<4*un^2+4*un+1
1+un<(2*un+1)^2
√(1+un)<2*un+1
1+√(1+un)<2*un+2
1/2< (un+1)/(1+√(1+un))=un+1
------------------
un^2-un-1 est du signe du coefficient de un^2 à l'extérieur de ses racines qui sont (1-√5)/2 et (1+√5)/2 donc l'expression un^2-un-1<0 puisque un appartient à [1/2,1]

un^2-un-1<0
un^2<un+1
un<√(un+1)
1+un<1+√(un+1)
(un+1)/(1+√(1+un))=un+1<1

conclusion 1/2≤ un+1 ≤ 1, la relation étant héréditaire est valable pour toute valeur de n
2-----------
n=1 ==> u1=f(1)=2/(1+√2)
n=2 ==> u1=f(u1)=(2*√2-1)/(1+√(2*√2-1))
on suppose un< un-1  
1+un< 1+un-1
(1+un)/(1+√(1+un-1))< (1+un-1)/(1+√(1+un-1))
et comme
(1+un)/(1+√(1+un))< (1+un)/(1+√(1+un-1))< (1+un-1)/(1+√(1+un-1))
d'où
(1+un)/(1+√(1+un))< (1+un-1)/(1+√(1+un-1))
soit
un+1 < un
la relation étant héréditaire est valable pour toute valeur de n  et un+1< un
3-----------
La suite un étant décroissante et bornée converge. Lorsque n-> ∞ alors un+1 =un=a qui est solution de  un=f(un) ==> soit (1+un)/(√(1+un)+1)=un
un*√(1+un)-1)/(√(1+un)+1)=0
un=a est le le zéro du numérateur de cette fraction
un*√(1+un)-1)
dont on détermine la valeur numériquement (dichotomie) et qui vaut 0.754878

 

Partager ce message


Lien à poster
Partager sur d’autres sites

Pour la partie C :

Il suffit de dériver g, montrer que g'(x) est positive sur l'intervalle d''étude et conclure.

Ensuite, par conjecture vérifier que g prend des valeurs négatives et positives et démontrer la conjecture en appliquant le théorèmes des valeurs intermédiaires.

Partager ce message


Lien à poster
Partager sur d’autres sites

Rejoindre la conversation

Vous pouvez publier maintenant et vous inscrire plus tard. Si vous avez un compte, connectez-vous maintenant pour publier avec votre compte.

Invité
Répondre à ce sujet…

×   Collé en tant que texte enrichi.   Coller en tant que texte brut à la place

  Seulement 75 émoticônes maximum sont autorisées.

×   Votre lien a été automatiquement intégré.   Afficher plutôt comme un lien

×   Votre contenu précédent a été rétabli.   Vider l’éditeur

×   Vous ne pouvez pas directement coller des images. Envoyez-les depuis votre ordinateur ou insérez-les depuis une URL.

Chargement

×
×
  • Créer...