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C8H10N4O2

Variation de suite

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Bonsoir à tous,

voici un exercice aperçu dans un post précédent tiré d'un manuel de Première. Je suis curieux de savoir comment y répondre avec le bagage d'un élève de ce niveau .

1003109591_Capturedcran2019-11-0120_05_20.png.0111c7fcccd496651f43a4f098e54968.png

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Bonsoir Barbidoux,

Ce n'est pas tout à fait aussi simple,  (1+1/n)^3*(1/2) n'est inférieur à 1 que pour n supérieur à 3. Donc la suite est d'abord croissante.

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relation vraie pour n=3 (initialisation), supposée vraie pour n ==> (1/2)*(1+1/n)^3<1 et comme (1/2)*(1+1/(n+1))^3<(1/2)*(1+1/n)^3<1 démontrée à l'ordre n+1 donc héréditaire et valide quelque soit n>3

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En refaisant les calculs, je me demande comment justifier image.png.3179d3600a65832d2f33b1f075760d92.png

Vous m'aviez proposé dans un post précédent la démonstration de image.png.fe25fabeff5fd5dd6c2916891bfcf96c.png , par récurrence en multipliant termes à termes les inégalités image.png.a3937b43aabac744fa058122a4a67c1a.png

Mais pour n sous forme fractionnaire je ne vois pas comment faire. En multipliant termes à termes image.png.0e3e184c65c18a16ab370239d8f16d43.png   , j'obtiens  image.png.039249284b7cc6d5d84aae75e30170ef.png  , ce qui ne permet pas de démontrer     image.png.ba0e721376a7434d06adbdfb3ef8d418.png

 

Merci d'avance pour toute suggestion.

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Il y a 2 heures, C8H10N4O2 a dit :

En refaisant les calculs, je me demande comment justifier image.png.3179d3600a65832d2f33b1f075760d92.png

Si on ne se contente pas de raisonner en termes d'extraction de racines cubiques, on peut procéder ainsi :

n est évidement supposé positif.

(1+1/n)³>2

=>

(1+1/n)³>(21/3

=>

(1+1/n)³-(21/3)³>0

=>

(1+1/n-21/3)*[(1+1/n)²+(1+1/n)*21/3+22/3]>0

Comme le terme entre crochets est forcément positif, l'inégalité impose 1+1/n-21/3>0, soit 1+1/n>21/3.

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Il y a 3 heures, julesx a dit :

Si on ne se contente pas de raisonner en termes d'extraction de racines cubiques, on peut procéder ainsi :

Merci. Que signifierait ici "extraire les racines cubiques" ?

(1+1/n-21/3)*[(1+1/n)²+(1+1/n)*21/3+22/3]>0

Comme le terme entre crochets est forcément positif, l'inégalité impose 1+1/n-21/3>0, soit 1+1/n>21/3.

On raisonne donc avec l'identité remarquable a3 - b3 = (a-b)(a2 + ab + b2) mais cela est-il généralisable pour n entier naturel quelconque ?

 

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Extraire les racines cubiques signifie pour moi la même chose qu'extraire les racines carrées ou les racines nièmes, c'est à dire trouver les nombres dont l’élévation à la puissance correspondante redonne le nombre de départ.

On raisonne donc avec l'identité remarquable a3 - b3 = (a-b)(a2 + ab + b2) mais cela est-il généralisable pour n entier naturel quelconque ? Qu'entends-tu par généralisable pour n entier quelconque ? L'identité remarquable s'applique à n'importe quel couple de réels.

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Je conçois qu'on peut partir de image.png.23dc96608a079e07dd3b695b4734d31e.png   pour ensuite montrer :image.png.e8db94b87b424827580499cb664ab435.png , comme on le fait pour démontrer le lien entre racines et factorisation des polynômes.

Puis image.png.29ffb4c91f622400fd682954834a3a9b.png

Le second terme étant une somme de termes positifs, image.png.3c8f8dcc1f74a81ec55be9523a3796f7.png  , CQFD .

Mais je me demandais s'il n'y avait pas une démonstration plus simple, je doute qu'elle soit exigible en Première (peut-être en Terminale).

Edit : a<b <=> (a1/n)n - (b1/n)n < 0 , etc... Le second terme étant une suite de termes positifs , a1/n - b1/n < 0 CQFD

 

Il y a 23 heures, Barbidoux a dit :

relation vraie pour n=3 (initialisation), supposée vraie pour n ==> (1/2)*(1+1/n)^3<1 et comme (1/2)*(1+1/(n+1))^3<(1/2)*(1+1/n)^3<1 démontrée à l'ordre n+1 donc héréditaire et valide quelque soit n>3

Oui mais comment trouver 3 pour commencer ?

Modifié par C8H10N4O2

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Deux remarques :

* On se limite ici à la relation a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²) qu'on peut facilement faire vérifier à des élèves de terminale.

* A mon avis, les mêmes élèves passeraient sans se poser de questions de (1+1/n)³<2 à 1+1/n<2(1/3).

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il y a 26 minutes, C8H10N4O2 a dit :

Oui mais comment trouver 3 pour commencer ?

Lorsque l'on résout un exercice la première chose est de savoir où l'on veut aller avant de rechercher comment y aller.  Avec les moyens à la disposition des élèves (calculatrice graphique, tableurs, logiciels de géométrie dynamique, de calculs formels etc ....)  il est souvent très facile  de conjecturer la réponse à une question posée ce qui permet  ensuite de réfléchir à un chemin pour y parvenir (et ils peut y en avoir plusieurs).

Dans le cas de l'étude d'une suite le premier réflexe à avoir est  d'en calculer les premiers termes.  Dans le cas de la suite étudiée l'utilisation d'un tableur et le calcul des 5 ou 10 premiers termes de la suite montre que la suite est décroissante à partir de son troisième terme, il ne reste plus alors qu'à le démontrer .... (rapport un+1/un<1 ou un+1-un<0 )

 

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il y a 33 minutes, julesx a dit :

 

* A mon avis, les mêmes élèves passeraient sans se poser de questions de (1+1/n)³<2 à 1+1/n<2(1/3).

 

Ça me semble une mauvaise habitude à prendre que de réaliser des équivalences "sans se poser de questions" :lol:

D'accord, merci à vous deux, s'il n'y a pas d'autre proposition pour démontrer plus simplement  image.png.3879bcca2d94c7c05a169a626bc20e7d.png  , je pense en rester là pour le moment. ^_^

 

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il y a 3 minutes, C8H10N4O2 a dit :

Ça me semble une mauvaise habitude à prendre que de réaliser des équivalences "sans se poser de questions" 

Oui, mais là, il ne s'agit pas d'une équivalence, c'est une simple conséquence.

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il y a 55 minutes, julesx a dit :

Oui, mais là, il ne s'agit pas d'une équivalence, c'est une simple conséquence.

Oui mais basée sur quoi ? Sur le fait que x-->x3 soit une fonction connue comme croissante sur R+ ? 508675409_Capturedcran2019-11-0719_52_26.png.a331e8c5744966941bc79cc685cec74f.png

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