Variation de suite

[C8H10N4O2]

Bonsoir à tous,

voici un exercice aperçu dans un post précédent tiré d'un manuel de Première. Je suis curieux de savoir comment y répondre avec le bagage d'un élève de ce niveau .

[Barbidoux]

J'aurais dit que

u_n = n³/2ⁿ et u_n+1=(n+1)³/2ⁿ⁺¹ ==> u_n+1/ u_n=(1+1/n)³*(1/2) <1 pour n>3 donc suite décroissante

[julesx]

Bonsoir Barbidoux,

Ce n'est pas tout à fait aussi simple,  (1+1/n)^3*(1/2) n'est inférieur à 1 que pour n supérieur à 3. Donc la suite est d'abord croissante.

[Barbidoux]

exact, faute de frappe que j'ai corrigée

[C8H10N4O2]

Merci  

[C8H10N4O2]

En revenant à cet exercice, je ne vois pas vraiment comment on obtient :     

[Barbidoux]

relation vraie pour n=3 (initialisation), supposée vraie pour n ==> (1/2)*(1+1/n)^3<1 et comme (1/2)*(1+1/(n+1))^3<(1/2)*(1+1/n)^3<1 démontrée à l'ordre n+1 donc héréditaire et valide quelque soit n>3

[julesx]

ou calcul direct ?

1/2*(1+1/n)³<1

=>

1+1/n<2^(1/3)

=>

n>1/(2^(1/3)-1)≈3,85...

[C8H10N4O2]

Merci beaucoup à tous les deux !

[C8H10N4O2]

En refaisant les calculs, je me demande comment justifier 

Vous m'aviez proposé dans un post précédent la démonstration de  , par récurrence en multipliant termes à termes les inégalités 

Mais pour n sous forme fractionnaire je ne vois pas comment faire. En multipliant termes à termes    , j'obtiens    , ce qui ne permet pas de démontrer     

 

Merci d'avance pour toute suggestion.

[julesx]

Il y a 2 heures, C8H10N4O2 a dit :

En refaisant les calculs, je me demande comment justifier 

Si on ne se contente pas de raisonner en termes d'extraction de racines cubiques, on peut procéder ainsi :

n est évidement supposé positif.

(1+1/n)³>2

=>

(1+1/n)³>(2^1/3)³

=>

(1+1/n)³-(2^1/3)³>0

=>

(1+1/n-2^1/3)*[(1+1/n)²+(1+1/n)*2^1/3+2^2/3]>0

Comme le terme entre crochets est forcément positif, l'inégalité impose 1+1/n-2^1/3>0, soit 1+1/n>2^1/3.

[C8H10N4O2]

Il y a 3 heures, julesx a dit :

Si on ne se contente pas de raisonner en termes d'extraction de racines cubiques, on peut procéder ainsi :

Merci. Que signifierait ici "extraire les racines cubiques" ?

(1+1/n-2^1/3)*[(1+1/n)²+(1+1/n)*2^1/3+2^2/3]>0

Comme le terme entre crochets est forcément positif, l'inégalité impose 1+1/n-2^1/3>0, soit 1+1/n>2^1/3.

On raisonne donc avec l'identité remarquable a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²) mais cela est-il généralisable pour n entier naturel quelconque ?

 

[julesx]

Extraire les racines cubiques signifie pour moi la même chose qu'extraire les racines carrées ou les racines nièmes, c'est à dire trouver les nombres dont l’élévation à la puissance correspondante redonne le nombre de départ.

On raisonne donc avec l'identité remarquable a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²) mais cela est-il généralisable pour n entier naturel quelconque ? Qu'entends-tu par généralisable pour n entier quelconque ? L'identité remarquable s'applique à n'importe quel couple de réels.

[C8H10N4O2]

Je conçois qu'on peut partir de    pour ensuite montrer : , comme on le fait pour démontrer le lien entre racines et factorisation des polynômes.

Puis : 

Le second terme étant une somme de termes positifs,   , CQFD .

Mais je me demandais s'il n'y avait pas une démonstration plus simple, je doute qu'elle soit exigible en Première (peut-être en Terminale).

Edit : a<b <=> (a^1/n)ⁿ - (b^1/n)ⁿ < 0 , etc... Le second terme étant une suite de termes positifs , a^1/n - b^1/n < 0 CQFD

 

Il y a 23 heures, Barbidoux a dit :

relation vraie pour n=3 (initialisation), supposée vraie pour n ==> (1/2)*(1+1/n)^3<1 et comme (1/2)*(1+1/(n+1))^3<(1/2)*(1+1/n)^3<1 démontrée à l'ordre n+1 donc héréditaire et valide quelque soit n>3

Oui mais comment trouver 3 pour commencer ?

Modifié le 7 novembre 2019 par C8H10N4O2

[julesx]

Deux remarques :

* On se limite ici à la relation a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²) qu'on peut facilement faire vérifier à des élèves de terminale.

* A mon avis, les mêmes élèves passeraient sans se poser de questions de (1+1/n)³<2 à 1+1/n<2^(1/3).

[Barbidoux]

il y a 26 minutes, C8H10N4O2 a dit :

Oui mais comment trouver 3 pour commencer ?

Lorsque l'on résout un exercice la première chose est de savoir où l'on veut aller avant de rechercher comment y aller.  Avec les moyens à la disposition des élèves (calculatrice graphique, tableurs, logiciels de géométrie dynamique, de calculs formels etc ....)  il est souvent très facile  de conjecturer la réponse à une question posée ce qui permet  ensuite de réfléchir à un chemin pour y parvenir (et ils peut y en avoir plusieurs).

Dans le cas de l'étude d'une suite le premier réflexe à avoir est  d'en calculer les premiers termes.  Dans le cas de la suite étudiée l'utilisation d'un tableur et le calcul des 5 ou 10 premiers termes de la suite montre que la suite est décroissante à partir de son troisième terme, il ne reste plus alors qu'à le démontrer .... (rapport u_n+1/u_n<1 ou u_n+1-u_n<0 )

 

[C8H10N4O2]

il y a 33 minutes, julesx a dit :

 

* A mon avis, les mêmes élèves passeraient sans se poser de questions de (1+1/n)³<2 à 1+1/n<2^(1/3).

 

Ça me semble une mauvaise habitude à prendre que de réaliser des équivalences "sans se poser de questions" 

D'accord, merci à vous deux, s'il n'y a pas d'autre proposition pour démontrer plus simplement    , je pense en rester là pour le moment. 

 

[julesx]

il y a 3 minutes, C8H10N4O2 a dit :

Ça me semble une mauvaise habitude à prendre que de réaliser des équivalences "sans se poser de questions" 

Oui, mais là, il ne s'agit pas d'une équivalence, c'est une simple conséquence.

[C8H10N4O2]

il y a 55 minutes, julesx a dit :

Oui, mais là, il ne s'agit pas d'une équivalence, c'est une simple conséquence.

Oui mais basée sur quoi ? Sur le fait que x-->x³ soit une fonction connue comme croissante sur R+ ? 

[julesx]

Par exemple.