Continuité et limites

[Ziineb]

Bonjour on nous a demandé de faire un exercice de limites et de continuité et je ne sais pas trop comment faire. Merci d avance

voila l énoncé 

C est l exercice n 3 

[pzorba75]

Exo 3 :

Df=]O:1[union]1;+infty[

lim_{x<1}f(x)=+infty si x<1 et -infty si x>1

lim_{x->+infty}=0 

À vérifier en justifiant.

[Barbidoux]

[C8H10N4O2]

Il me semble qu'il y a une petite coquille ici avec un x en trop au dénominateur.

À propos de la démonstration de continuité, il s'agit de montrer que  , c'est bien cela ? Je trouve alors l'énoncé un peu particulier parce que 0 est valeur interdite mais on donne f(0) = 0 ....

[Barbidoux]

Il y a 1 heure, C8H10N4O2 a dit :

Il me semble qu'il y a une petite coquille ici avec un x en trop au dénominateur.

Exact il y a un x en trop ....

 

Il y a 1 heure, C8H10N4O2 a dit :

A propos de la démonstration de continuité, il s'agit de montrer que  , c'est bien cela ? Je trouve alors l'énoncé un peu particulier parce que 0 est valeur interdite mais on donne f(0) = 0 ....

Non cela revient à démontrer en fait que la fonction f(x) est continue à gauche en 0 ce qui nécessite deux conditions :

La première est que lim x->0+ f(x)=0 et f(0)=0 ce qui explique la valeur f(0)=0 donnée dans la définition de la fonction f(x). J'aurais du être plus explicite  et écrire :

 

[C8H10N4O2]

Ne dit-on pas la même chose en définitive ?

Selon moi, démontrer que f est continue en a signifie montrer 1) que f est définie en a (f(a) existe) , et 2) que  

N'est-ce pas ce que vous dites là : ?

[Barbidoux]

Il y a 9 heures, C8H10N4O2 a dit :

Selon moi, démontrer que f est continue en a signifie montrer 1) que f est définie en a (f(a) existe) , et 2) que  

Oui mais dans le cas de l'exercice sin(x)/(√x-x) n'est pas défini en 0 et f(0) n'est pas la valeur de sin(x)/(√x-x) en 0. D'ailleurs il aurait du être écrit 

Selon moi dans cet exercice il s'agit de vérifier que la fonction sin(x)/(√x-x) se prolonge par continuité vers 0 lorsque x-> 0

 

[C8H10N4O2]

Merci de cette précision, c'est en fait sur le principe très différent de ce que j'avais en tête et qui était trop simpliste.

[C8H10N4O2]

Le 03/10/2019 à 17:10, Barbidoux a dit :

 

Selon moi dans cet exercice il s'agit de vérifier que la fonction sin(x)/(√x-x) se prolonge par continuité vers 0 lorsque x-> 0

 

Je reviens sur cet exercice (EXO 3) :

1) Déterminer Df : est-il correct d'écrire    ?

3) Ne peut-on pas simplement dire :     pour montrer        ? 

EXO 4 :

Question 2 : La fonction E n'est-elle pas définie comme associant à x le plus grand entier inférieur ou égal à x ?

Dès lors,   , donc     et     

En revanche ,    et  je ne comprends pas pourquoi     ne donne pas lieu à une indétermination "   "  . 

[Barbidoux]

Il y a 3 heures, C8H10N4O2 a dit :

Je reviens sur cet exercice (EXO 3) :

1) Déterminer Df : est-il correct d'écrire    ?

Je dirais non (mais sans totale certitude).

J'aurais écrit D_f=[0, ∞[. Selon moi f(x) n'est pas définie en 0. f(0)=0 est une valeur de la fonction qui n'est pas issue d'une expression dans laquelle on remplace x par la valeur 0 . f(x) est "en quelque sorte" une   fonction différente de sin(x)/(√x-x) qui a la valeur 0 pour x=0 . 

Dans ces exercice (qui sont bien dans l'esprit des CPGE) on fait appel à des fonction dont les expressions ou valeurs sont conditionnelles et correspondent à des intervalles disjoints ]-∞ a[ U ]a,∞[ par exemple. Leur propos est d'étudier la continuité de la fonction à la  jonction de ces intervalles soit en a pour mon exemple pour monter qu'en ce point la fonction est continue par prolongement en a autrement dit que les deux fonctions tendent vers une même limite finie k en ce point  ce qui fait que l'on peut tracer son graphe sans interruption à condition de poser dans la définition de la fonction f(a)=k . 

 La description qui est donnée à chaque fois pour la fonction f(x) me semble un peu confusionnelle. Personnellement j'aurais défini f(x) comme f(x)=sin(x)/(√x-x) si x>0 et 0 si x=0. Dans ce cas l'intervalle de définition de f(x) est [0, ∞[ mais qui est disjoint de celui de sin(x)/(√x-x) qui est ]0, ∞].

3) Ne peut-on pas simplement dire :     pour montrer        ? 

Tout à fait , l'expression que j'ai écrite, je l'ai écrite en pensant à la limite de sinx/(√x-x) en 1.

EXO 4 :

Question 2 : La fonction E n'est-elle pas définie comme associant à x le plus grand entier inférieur ou égal à x ?

Dès lors,   , donc     et     

En revanche ,    et  je ne comprends pas pourquoi     ne donne pas lieu à une indétermination "   "  . 

C'est  (selon moi) le type d'exercice que l'exo 2. J'aurais personnellement défini f(x) comme f(x)=x.sin(x)/(x-E(x)) si x≠ 0 et 0 si x=0 pour montrer que l'on change d'expression de la fonction en 0. Avec cette écriture aucune indétermination en 0 valeur pour laquelle f(0)=0 mais qui n'a pas pour expression  x.sin(x)/(x-E(x)).

L'intervalle de définition de f(x) définie comme f(x)={x.sin(x)/(x-E(x)) si x≠ 0 }  vaut R-Z* et la fonction f(x) est continue en 0 car ses limites  gauche et droite valent  0 et sont égales à la valeur de la fonction en x=0  ce qui n'est  pas le cas pour toutes les autres valeurs x appartenant à Z* car les limites (droite et gauche) pour ces valeurs ne sont pas identiques.

Je pense que pour montrer qu'une fonction est continue en un point il faut montrer que  limites gauche et  droite de la fonction en ce point sont identiques  et égales à la valeur de la fonction en ce point.

 

[C8H10N4O2]

Tout à fait d'accord pour définir f de la manière suivante :

Ce qui me gênait un peu c'est : 

Car selon moi, on a en 0^- :    

Mais en 0⁺ :      et c'est là que je vois une forme indéterminée 0/0 . Mais est-ce qu'il s'agit de dire     et de

conclure par     ?  

[Barbidoux]

Il y a 12 heures, C8H10N4O2 a dit :

Tout à fait d'accord pour définir f de la manière suivante :

Ce qui me gênait un peu c'est : 

Car selon moi, on a en 0^- :    

Mais en 0⁺ :      et c'est là que je vois une forme indéterminée 0/0 . Mais est-ce qu'il s'agit de dire    

Oui lorsque x tend vers 0+ sa valeur n'est pas nulle alors que celle de E(x), l'est et l'on peut donc simplifier l'expression qui est alors égale à sin(x)

et de conclure par     ?  

non la lim _x->0⁺ sin(x)  vaut 0 ce qui permet de dire que f(x)  est bien continue en 0, puisque les limites de droites et gauche de f(x) sont identiques et égales à la valeur de la fonction en x= 0.

 

 

 

[C8H10N4O2]

Merci pour ces explications détaillées, qui me permettent de mettre le doigt sur un certain nombre de subtilités qui m'échappent à propos du calcul de limites à droite et à gauche de zéro.

Pour récapituler : en 0^- , on a :      .  Mais alors là je n'ai plus de certitudes : si je devais décomposer les limites , je dirais qu'au numérateur,

 

on a :     et     , donc        (je n'en suis pas sûr du tout et s'il y a des règles à

 

connaître pour ce genre de situation, je suis preneur !) 

 

Dans le même esprit, je dirais qu'au dénominateur, on a    

 

Et donc qu'au final  :  

[Barbidoux]

Selon moi limite finie une valeur finie  elle  ne correspond pas à une suite de valeurs.   La notation O^- signifie que l'on tend vers 0 par valeurs inférieures  et donc  lim_O^- 0^-=0 ce qui fait que  lim_O^- x=0  ;  lim_O^- sin(x)=0 et donc la limite d'un produit de fonction étant en général égal au produit de leur  limites respectives lim_O^- x*sin(x)=0 et donc au final lim_O^- x sin(x)/(x+1)= lim_O^- x sin(x)/(1)=lim_O^- x sin(x)/(1)=0

[C8H10N4O2]

D'accord, merci bien, moi j'interprétais    comme voulant dire "quelles valeurs prend sin(x) lorsque l'on s'approche de 0 par valeurs supérieures?" Et j'aurais eu

tendance à répondre : des valeurs de plus en plus proches de 0 tout en restant positives , donc 0⁺ .  Mais je retiens cette distinction entre limite finie et infinie qui me semble être le fin mot de cette histoire.