C8H10N4O2 Posté(e) le 22 avril 2019 Signaler Posté(e) le 22 avril 2019 Bonjour à tous ! Une petite question me taraude : comment démontre-t-on que la fonction exponentielle de base e est croissante ? Je sais le montrer du fait qu'elle est à elle-même sa propre dérivée et que celle-ci est donc positive mais existe-t-il une autre méthode ? Merci d'avance
E-Bahut pzorba75 Posté(e) le 22 avril 2019 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 avril 2019 En TS on définit la fonction exponentielle comme la solution de l'équation différentielle y'=y telle que y(0)=1. la fonction solution sur R ne s'annule pas elle est monotone croissante sur R. Voir ton livre de classe pour le détail de la démonstration ou wikipedia
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 23 avril 2019 E-Bahut Signaler Posté(e) le 23 avril 2019 Soit une fonction f continue strictement monotone sur un intervalle I définissant une bijection de l'intervalle I sur l'intervalle J. Alors la fonction réciproque f-1 est continue et strictement monotone sur J de même sens de monotonie que f. Le fonction f=ln(x) définissant une bijection de l'intervalle R+* sur l'intervalle R, étant continue strictement croissante sur R+* , sa fonction réciproque f-1=exp(x) est donc strictement croissante sur R.
E-Bahut pzorba75 Posté(e) le 23 avril 2019 E-Bahut Signaler Posté(e) le 23 avril 2019 Il y a 1 heure, Barbidoux a dit : Soit une fonction f continue strictement monotone sur un intervalle I définissant une bijection de l'intervalle I sur l'intervalle J. Alors la fonction réciproque f-1 est continue et strictement monotone sur J de même sens de monotonie que f. Le fonction f=ln(x) définissant une bijection de l'intervalle R+* sur l'intervalle R, étant continue strictement croissante sur R+* , sa fonction réciproque f-1=exp(x) est donc strictement croissante sur R. Sauf erreur de ma part, les programmes en TS ne contiennent plus l'étude des variations des fonctions réciproques. C'était au programme "avant"... Bonnes vacances à tous les chanceux.
C8H10N4O2 Posté(e) le 23 avril 2019 Auteur Signaler Posté(e) le 23 avril 2019 Il y a 14 heures, Barbidoux a dit : Soit une fonction f continue strictement monotone sur un intervalle I définissant une bijection de l'intervalle I sur l'intervalle J. Alors la fonction réciproque f-1 est continue et strictement monotone sur J de même sens de monotonie que f. Le fonction f=ln(x) définissant une bijection de l'intervalle R+* sur l'intervalle R, étant continue strictement croissante sur R+* , sa fonction réciproque f-1=exp(x) est donc strictement croissante sur R. Merci Barbidoux ! Mais vous imaginez ma question suivante : comment montre-t-on que la fonction logarithme népérien est croissante ??
E-Bahut pzorba75 Posté(e) le 24 avril 2019 E-Bahut Signaler Posté(e) le 24 avril 2019 On utilise la propriété de l'intégrale de la fonction inverse sur ]0;+infty[. Pour tout x>0, la fonction ln est la primitive de 1/x s'annulant en x=1. Comme 1/x est positive, la fonction ln est monotone croissante sur l'intervalle ]0;+infty[.
C8H10N4O2 Posté(e) le 24 avril 2019 Auteur Signaler Posté(e) le 24 avril 2019 Il y a 2 heures, pzorba75 a dit : On utilise la propriété de l'intégrale de la fonction inverse sur ]0;+infty[. Pour tout x>0, la fonction ln est la primitive de 1/x s'annulant en x=1. Comme 1/x est positive, la fonction ln est monotone croissante sur l'intervalle ]0;+infty[. Très juste. On peut donc aussi démontrer que ex est croissante en s'appuyant sur le fait qu'elle est sa propre primitive et positive par définition.
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