Croissance exponentielle

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous !

Une petite question me taraude : comment démontre-t-on que la fonction exponentielle de base e est croissante ? Je sais le montrer du fait qu'elle est à elle-même sa propre dérivée et que celle-ci est donc positive mais existe-t-il une autre méthode ?

Merci d'avance  

 

[pzorba75]

En TS on définit la fonction exponentielle comme la solution de l'équation différentielle y'=y telle que y(0)=1. la fonction solution sur R ne s'annule pas elle est monotone croissante sur R. 

Voir ton livre de classe pour le détail de la démonstration ou wikipedia

[Barbidoux]

Soit  une fonction f continue strictement monotone sur un intervalle I définissant une bijection de l'intervalle I sur l'intervalle  J. Alors la fonction réciproque  f^-1 est continue et strictement monotone sur J de même sens de monotonie que f.

Le fonction f=ln(x)  définissant une bijection de l'intervalle  R^+*  sur l'intervalle  R, étant continue strictement croissante sur R^+* , sa fonction réciproque  f^-1=exp(x) est donc strictement croissante sur R.

[pzorba75]

Il y a 1 heure, Barbidoux a dit :

Soit  une fonction f continue strictement monotone sur un intervalle I définissant une bijection de l'intervalle I sur l'intervalle  J. Alors la fonction réciproque  f^-1 est continue et strictement monotone sur J de même sens de monotonie que f.

Le fonction f=ln(x)  définissant une bijection de l'intervalle  R^+*  sur l'intervalle  R, étant continue strictement croissante sur R^+* , sa fonction réciproque  f^-1=exp(x) est donc strictement croissante sur R.

Sauf erreur de ma part, les programmes en TS ne contiennent plus l'étude des variations des fonctions réciproques. C'était au programme "avant"...

Bonnes vacances à tous les chanceux.

[C8H10N4O2]

Il y a 14 heures, Barbidoux a dit :

Soit  une fonction f continue strictement monotone sur un intervalle I définissant une bijection de l'intervalle I sur l'intervalle  J. Alors la fonction réciproque  f^-1 est continue et strictement monotone sur J de même sens de monotonie que f.

Le fonction f=ln(x)  définissant une bijection de l'intervalle  R^+*  sur l'intervalle  R, étant continue strictement croissante sur R^+* , sa fonction réciproque  f^-1=exp(x) est donc strictement croissante sur R.

Merci Barbidoux ! Mais vous imaginez ma question suivante : comment montre-t-on que la fonction logarithme népérien est croissante ??  

[pzorba75]

On utilise la propriété de l'intégrale de la fonction inverse sur ]0;+infty[.

Pour tout x>0, la fonction ln est la primitive de 1/x s'annulant en x=1. Comme 1/x est positive, la fonction ln est monotone croissante sur l'intervalle ]0;+infty[. 

[C8H10N4O2]

Il y a 2 heures, pzorba75 a dit :

On utilise la propriété de l'intégrale de la fonction inverse sur ]0;+infty[.

Pour tout x>0, la fonction ln est la primitive de 1/x s'annulant en x=1. Comme 1/x est positive, la fonction ln est monotone croissante sur l'intervalle ]0;+infty[. 

Très juste. On peut donc aussi démontrer que e^x est croissante en s'appuyant sur le fait qu'elle est sa propre primitive et positive par définition.