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Limite exponentielle


C8H10N4O2

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Bonjour à tous !

Quelqu'un connaitrait-il une manière de démontrer image.png.b9ca384c55bba9861892e2aa60c55e99.png ? Je pensais passer par les D.L. mais je n'avance guère et j'ignore si c'est vraiment la bonne piste...

Pour l'instant, tout ce que je sais faire, c'est montrer empiriquement que ex semble bien croitre beaucoup plus vite que xn pour x suffisamment grand (par exemple en prenant n=5).

Merci d'avance pour vos suggestions !

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  • E-Bahut

Tu démarres la démonstration en montrant que pour tout x réel, e^x>x , avec un petit bricolage tu démontres que lim_{x->infty}e^x/x=+infty;

Tu poursuis en remarquant que e^x/x^n=(e^(x/n)^n)/x^n=1/n^n*(e^(x/n)/(x/n))^n ce qui te permet avec d'autres bricolages de conclure lim_{x->+infy}e^x/x^n=+infty.

Normalement, cette démonstration est exigible en Terminale S, en France.

Tu la trouveras dans les bons livres.

 

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