Convergence de suite

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous !

Je m'interroge sur la manière de montrer que la suite {} converge en zéro. Le calcul des premiers termes le suggère, mais je cherche une façon rigoureuse de montrer qu'il existe toujours un indice pour lequel on a   avec  positif et arbitrairement petit. 

Je serais tenté de dire  , mais je doute que ce soit juste étant donné que la suite est définie par récurrence et non Un en fonction de n.

Merci d'avance pour vos suggestions !

[julesx]

Une possibilité de "bricoleur", mais à oublier si un "vrai" matheux intervient...

Montrer par récurrence que U_n=1/n!.   U_n=1/(n-1)!

La conclusion est alors immédiate puisque factorielle n tend vers l'infini avec n.

[Barbidoux]

La suite un est décroissante puisque un+1/un=1/n≤1, bornée par 0 puisque u0>0 donc tout n appartenant à N ==> un>0. Elle est donc convergente. L étant sa limite  lorsque n->∞ alors un+1=un =L ==>lim un= L/n=0

[julesx]

A propos de ma réponse, rectification d'une erreur de transcription : c'est U_n=1/(n-1)!

[julesx]

Merci Denis .

[C8H10N4O2]

Merci à tous pour vos réponses, 'bricoleurs' ou 'vrais matheux' !  

Donc si je comprends bien, on considère   comme une suite géométrique de raison 1/n. Or    donc  0<(1/n)<1 donc (U_n) est décroissante et converge en zéro.

Oui, maintenant que j'y pense ça n'était pas si compliqué !

Sinon comme le fait Barbidoux, on peut montrer que la suite est à la fois décroissante et bornée, donc convergente en son plus petit minorant. Puis d'après le théorème du point fixe pour une suite récurrente   la limite L doit satisfaire L = f(L) = L/n et on a bien 

Je crois que ça résout le problème, merci encore !

Le 15/02/2019 à 20:23, julesx a dit :

Une possibilité de "bricoleur", mais à oublier si un "vrai" matheux intervient...

Montrer par récurrence que U_n=1/n!.   U_n=1/(n-1)!

La conclusion est alors immédiate puisque factorielle n tend vers l'infini avec n.

Astucieux !

[julesx]

il y a une heure, C8H10N4O2 a dit :

Donc si je comprends bien, on considère   comme une suite géométrique de raison 1/n. Or    donc  0<(1/n)<1 donc (U_n) est décroissante et converge en zéro.

Pour moi, une suite géométrique a une raison constante. Je ne vois donc pas comment on peut faire l'assimilation.

[C8H10N4O2]

Il y a 1 heure, julesx a dit :

Pour moi, une suite géométrique a une raison constante. Je ne vois donc pas comment on peut faire l'assimilation.

Pas faux...très juste même ! Bon ben ma démonstration tombe à plat...

Attendons l'avis de Barbidoux  

[Barbidoux]

u_n+1=u_n/n  n'est pas une suite géométrique. C'est une suite décroissante bornée par 0 (ce qui se démontre aisément par récurrence) puisque u₁>0  et u_n+1/u_n=1/n<1. Elle est donc convergente. Lorsque n->∞ alors u_n+1=u_n=L ==> lim u_n+1=lim u_n/n L=L/n=0.

[C8H10N4O2]

Il y a 1 heure, Barbidoux a dit :

u_n+1=u_n/n  n'est pas une suite géométrique. C'est une suite décroissante bornée par 0 (ce qui se démontre aisément par récurrence) puisque u₁>0  et u_n+1/u_n=1/n<1. Elle est donc convergente. Lorsque n->∞ alors u_n+1=u_n=L ==> lim u_n+1=lim u_n/n L=L/n=0.

Oui voilà, cette démonstration n'affirme pas que la suite est géométrique. Je me demandais pourquoi passer par la démonstration de la monotonie bornée mais comme l'a bien relevé JulesX, on ne peut pas dire que Un est géométrique avec une raison 1/n variable !!

Merci à tous.

[julesx]

Juste un petit commentaire pour terminer. Ce qui précède illustre deux méthodes possibles pour trouver la limité d'une suite.

* Montrer que la suite est croissante et bornée (ou décroissante et bornée) puis déterminer la limite en procédant comme indiqué par Barbidoux.

* Chercher l'expression de U_n en fonction de n puis chercher la limite de cette expression lorsque n tend vers l'infini.

Lorsque les deux méthodes peuvent être employées, a priori, aucune n'est préférentielle. Par contre, suivant les cas, il peut y en avoir une élégante que l'autre. Il peut, probablement, aussi y avoir des cas où seule une des deux conduira à un résultat exploitable.

 

 

 

[C8H10N4O2]

Il y a 13 heures, julesx a dit :

Juste un petit commentaire pour terminer. Ce qui précède illustre deux méthodes possibles pour trouver la limité d'une suite.

* Montrer que la suite est croissante et bornée (ou décroissante et bornée) puis déterminer la limite en procédant comme indiqué par Barbidoux.

 

 

 

 

Oui sachant que dans le cas d'une suite arithmético-géométrique  , on montre que  est géométrique de raison q. De sorte que si q est dans l'intervalle de convergence ]-1;1[ , on peut directement conclure à la convergence de (Un) vers    sans passer par la démonstration de la monotonie bornée.

C'est ce que j'ai essayé de faire dans l'exemple précédent, à tort puisque la raison n'étant dans ce cas non pas une constante mais une variable dépendant de n, cette méthode n'est plus valable.