Nombres complexes TS

[mathou221059]

Bonjour, après de nombreux essais, je ne parviens toujours pas à réaliser ce dm que je dois rendre lundi...
Pouvez vous m’aider s’il vous plaît ?

Exercice 1 : (l’image avec le plan est joint à cet exercice)

Dire si la proposition suivante est vraie ou fausse.

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct (O, vecteur u, vecteur v).

Soit (S) l’ensemble des points M dont l’affixe z vérifie les deux conditions :

|z-1| = |z-i| et |z-3-2i|  2

Sur la figure, on a représenté le cercle de centre le point C d’affixe 3+2i et de rayon 2, et la droite d’équation y = x.

Cette droite coupe le cercle en deux points A et B.

PROPOSITION : L’ensemble (S) est le segment [AB]

 

Exercice 2 : (l'image avec le cercle est joint à cet exercice)

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O, vecteur u, vecteur v), on a placé un point M d’affixe z appartenant à C, puis le point R du cercle (c) de centre O passant par M et du demi-axe [O; vecteur u)

1) Exprimer l’affixe du point R en fonction de z. Justifier.

2) Soit le point M’ d’affixe z’ définie par : 

z’ = 1/2 ((z + |z|) / 2)

Construire le point M’ sur la figure ci-contre. Justifier 

 

[pzorba75]

Pour l'exercice 1:

Pose A tel que z_A=1 et B tel que z_B=i, z affixe de M.

|z-1|=|z-zA| et |z-i|=|z-z_B|, on a donc |z-z_A|=|z-z_B| <=>|z_vec(AM)|=|z_vec(AB)|<=>AM=MB, ce qui définit l'ensemble des points M sur une droite (D) facile à placer dans le plan complexe.

|z-3-2i| se traite de la même façon en posant C d'affixe z_C=3+2i et |z-3-2i|<2<=> CM<=2 soit M sur un disque délimité par le cercle (C) de centre C de rayon 2.

Je te laisse rédiger tout cela et conclure en donnant l'ensemble, intersection de la droite (D) et du cercle (C).

L'exercice 2 se traite de la même façon. À toi de travailler.

Je reviendrai si tu montres ton travail saisi au clavier, pas de photo ni de lien internet...

[mathou221059]

Pour l’exercice 1 :

(j’ai rédigé comme dans mon cours)

On a : |z-1| = |z-i| 

On pose A(1), B(i) et M(z).

AM = |zM - zA| = |z-1|

BM = |zM - zB| = |z-i|

M appartient à (S) <=> |z-1| = |z-i|

                                 <=> |zM - zA| = |zM - zB|

                                 <=> AM = BM

                                 <=> M appartient à la médiatrice de (AB)

 

Et on sait que (AB) <=> y = x

Donc M appartient à y = x. (je ne suis pas sure de mes deux dernières lignes)

 

 

On a : |z-3-2i|  2

On pose C (3+2i) et M(z)

CM = |zM - zC|

       = |z-3-2i|

D’où |z-3-2i|  2  <=> CM  2

Donc M appartient au disque délimité par (C) de centre C et de rayon 2.

 

Conclusion : L’ensemble (S) est bien le segment [AB] car les points M d’affixe z appartiennent à la droite (AB), mais plus précisément au disque délimité par (C) de centre C et de rayon 2 qui équivaut au segment [AB]

 

Est-ce bon ?

Pour l’exercice 2, je ne sais pas du tout comment le démarrer...

[pzorba75]

Pour l'exercice 2 

z_R=|z_M| ou z_M=x+iy et z_R=sqrt(x^2+y^2)

[mathou221059]

Je n’arrive vraiment pas à démarrer... Pouvez vous plus détailler s’il vous plaît ?

[Barbidoux]

[julesx]

Bonjour Barbidoux,

Excusez-moi d'intervenir, mais il y a une erreur dans votre diagramme, il faut construire 1/2*[(z+|z|)/2], pas z/4+|z|.

[mathou221059]

Comment dois-je faire svp ?

[Barbidoux]

Il y a 3 heures, julesx a dit :

Bonjour Barbidoux,

Excusez-moi d'intervenir, mais il y a une erreur dans votre diagramme, il faut construire 1/2*[(z+|z|)/2], pas z/4+|z|.

Exact erreur regrettable de parenthèses..... zM'=(zM+|zM|)/4 et non zM'=zM/4+|zM|. Correction effectuée. Merci de ta vigilance.

[julesx]

Une alternative de construction, vu la forme de la relation :

* Effectuer la somme des vecteurs OM et OR correspondant à z et à |z|, somme notée vecteur ON sur la figure ci-dessous.

* Effectuer (z+|z|)/2, donc faire apparaître le point I, milieu du segment [ON].

* Effectuer 1/2*[(z+|z|)/2], donc faire apparaître le point M', milieu du segment [OI].