Exercice sur les Suites - Terminale S

[Milton54]

Bonsoir/ Bonjour je suis en terminale S et j'ai  vraiment besoins d'aide pour ses questions sur les suites . Je suis bloqué à la question 3b. Votre  aide me sera très  précieuse pour finir ses exercices.

Merci d'avance. 

[Barbidoux]

3b————————

On démontre la proposition par récurrence 

vrai pour n=5 car un+1=un/3+n-2 ==> u5=u4/3+4-2=u4/3+2 > 5-2

On suppose que la proposition est vraie pour n.  A l’ordre n+1 on a 

un+1=un/3+n-2 comme un≥n-3 alors un+1≥(n-3)/3+n-2=n/3+n+1-3≥n+1-3

La proposition étant vérifiée à l’ordre n+1 est héréditaire et valable quelque soit la valeur de n≥5

[Milton54]

Bonjour. Merci pour votre aide. Cependant je n'arrive pas terminer l'exercice : Vous pouvez m'aider pour la question 5a. Et 5b . Merci d'avance 

[Barbidoux]

3c—————————

n≥5 ==> un≥n-3 ==> un-> ∞ lorsque n-> ∞

4a—————————

vn=-2*un+3*n-21/2

v_n+1=-2*u_n+1+3*n-21/2=-2*(un+2+n-2)+3*(n+1)-21/2=(1/3)*vn

ce qui montre que vn est un suite géométrique de raison 1/3 et de premier terme v0=-2*u0-21/2=-2-21/2=-12.5 

4b—————————

 vn=(-12.5)*(1/3)^n

4c—————————

vn=-2*un+3*n-21/2==> un=-vn/2+3*n/2-21/4=(25/4)*(1/3)^n+3*n/2-21/4

5a—————————

Sn= somme de 0 à n de vn=somme de 0 à n de (25/4)*(1/3)^k=(24/4)*(1-(1/3)^(n+1))/(1-1/3)

5b—————————

Sn= somme de 0 à n de un=somme de 0 à n de (25/4)*(1/3)^k+(3/2)*k-21/4=-(25/4)*3^(-n)+2*n/3-11/24

 

[Michibou]

Barbidoux, ta réponse à la 5a n'est-elle pas fausse ?  Ce ne serait pas : "(-25/2)*(1/3)^k=(-25/2)*(1-(1/3)^(n+1))/(1-1/3)" , au lieu de : "(25/4)*(1/3)^k=(24/4)*(1-(1/3)^(n+1))/(1-1/3)" ?

[Barbidoux]

Il y a 9 heures, Michibou a dit :

Barbidoux, ta réponse à la 5a n'est-elle pas fausse ?  Ce ne serait pas : "(-25/2)*(1/3)^k=(-25/2)*(1-(1/3)^(n+1))/(1-1/3)" , au lieu de : "(-25/2)*(1/3)^k=(-25/2)*(1-(1/3)^(n+1))/(1-1/3)" ?

oui faute de frappe

[Milton54]

Bonjour. Pourriez vous mieux m'expliquer la question 3b car je n'arrive pas à comprendre et donc à le faire.

Je suis bloqué dans la démarche.  

J'ai le même soucis pour la question 5b .

Merci d'avance. 

 

[pzorba75]

En soutien après la réponse de Barbidoux que je salue avec beaucoup de soleil :

3b

On  démontre par récurrence : Proposition P_n pour n>=5, u_n>=n-3

- Initialisation : à faire pour n=5 u₅.... c'est vrai, PN est initialisée pour n=5.

- Hérédité : on admet PN vraie pour n>=5, au rang n+1 on a :

u_n+1=1/3u_n+n-2, 1/3*un>=(n-3)/3+n-2=4/3*n-2>=n+1-3 

Hérédité démontrée.

- Conclusion, Initialisée, héréditaire donc vraie pour tout n>=5.

- 

[julesx]

Pour la question 5)b) :

Tu as montré que u_n=-v_n/2+3*n/2-21/4 et tu cherches la somme de 0 à n des u_k.

Comme il y a trois termes mis en jeu, il faut calculer séparément les trois sommes.

∑₀ⁿ-v_k/2=-1/2*∑₀ⁿv_k=-1/2*S_n calculé à la question précédente et que j'écris -75/4*[1-(1/3)ⁿ⁺¹] après réarrangement.

∑₀ⁿ3*k/2=3/2*∑₀ⁿk=3/2*n*(n+1)/2=3/4*n*(n+1) (somme des n premiers entiers ou en raisonnant en termes de suite arithmétique).

∑₀ⁿ-21/4=-21/4*∑₀ⁿ1=-21/4*(n+1) (de 0 à n il y n+1 fois 1).

Je te laisse regrouper les trois sommes et réarranger à ta guise.

 

 

[Milton54]

Merci à vous tous pour votre aides !