Suites 1ereS

[Fleurisa]

Bonjour ! 

Je fais un exercice sur les suites et je bloc vraiment beaucoup. Est ce que quelqu'un pourrait m aider s il vous plait ?

Voici l énoncé : 

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par u0 =1/2 et u(n+1)=un(2-un) 

1) calculer u1 et u2 

Ici, je n ai pas eu de problème, j ai trouvé u1= 3/4 et u2=15/16. 

2) on considère la suite (vn) définie par tout entier naturel n par vn =1- un 

a) Démontrer que pour tout entier naturel n, v(n+1)= v^2(n) 

Ici j ai fait : 

v^2(n)= (1-un)^2 et v(n+1)= 1-u(n+1)

                                             = 1-un(2-un)

                                             =1-2un +un^2 

                                            =(1-un)^2 

En déduire que pour tout entier naturel n, vn sup ou égal à 0. 

Ici je suis bloquée parce que si je fais

v(n+1)-vn je trouve (1-un)^2-(1-un). Or si n= 0 Le résultat est négatif. 

b) Conjecturer l expression de vn pour tout entier naturel n.

Je n ai aucune idée de ce qu'il faut faire ici. 

En déduire l expression de un en fonction de n. 

idem. 

Je vous remercie d avance pour votre aide qui me sera précieuse. 

Fleurisa 

[Black Jack]

il y a une heure, Fleurisa a dit :

Salut,

v(n+1) = v²(n)

v²(n) 0 puisque c'est un carré --> v(n+1) 0 ... pour tout n de N

Donc V(n) 0 pour n 1

Et comme, en outre, on a V(0) = 1 - U(0) = 1/2 > 0 ----> V(n) 0 pour tout n de N

********************

V(1) = Vo²
V(2) = V(1)² = vo^4
v(3) = v(2)² = vo^8
V(4) = v(3)² = Vo^16
...
V(n) = (v(0))^(2^n)

V(n) = 1/(2^(2^n))

De là, tu dois arriver à trouver U(n) = ... (en fonction de n)

 

 

il y a une heure, Fleurisa a dit :

 

 

[Fleurisa]

Merci beaucoup !!! Je trouve alors 

Un = 1-(1/2)^2^n 

Une dernière question : quand on nous demande de conjecturer l expression d une suite dans un exercice comme celui ci, la méthode est elle de toujours revenir à v0 ? 

[pzorba75]

Il y a 3 heures, Fleurisa a dit :

 

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par u0 =1/2 et u(n+1)=un(2-un) 

 

Cette définition n'est pas vraiment claire. Faut-il comprendre u_n+1=u_n*(2-u_n)  ou autre? Pour les suites, utiliser les boutons X² et X₂ pour exposant et indice, autrement ce n'est pas clair.

[julesx]

Je trouve alors Un = 1-(1/2)^2^n 

Attention, tel que c'est écrit, (1/2) est élevé à la puissance 2 et le résultat est élevé à la puissance n (conformément à la règle de priorité des opérateurs). Ce n'est pas le résultat recherché,  ce que tu veux, c'est que (1/2) soit élevé à la puissance "2 puissance n". Donc il faut écrire (1/2)^(2^n) ou (1/2)^{(2^n)} (par contre, ici, on ne peut pas "cumuler" les balises, d'où l'écriture de 2^n dans l'exposant de 1/2).

Une dernière question : quand on nous demande de conjecturer l expression d une suite dans un exercice comme celui ci, la méthode est elle de toujours revenir à v0 ?

Pour conjecturer l'expression, il faut calculer quelques termes dont les indices se suivent. Comme on te donne en principe le terme d'indice 0 (ou, éventuellement, celui d'indice 1), le mieux est effectivement  de partir de ce dernier.

[Fleurisa]

Merci beaucoup Julesx! 

[julesx]

De rien, à une autre fois, peut-être.