Une fonction dérivée (besoins de conformation)

[Milton54]

Bonjour, je suis en 1S et j'aurais souhaiter savoir si pour cette fonction ci dessous afin de calculer sa dérivée il faut d'abord mettre la fonction au même dénominateur avant de faire sa dérivation ? Ou bien on doit faire comme je le fait ( photographie ci dessous) ?

Ou dans les deux cas c'est juste ?

[pzorba75]

Tu sais, ou devrais savoir, que la dérivée d'une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées de chacune des fonctions. AInsi :

f(x)=x+2/x-2

f'(x)=1-2/x^2, que tu peux bricoler  ta guise suivant ce que l'énoncé demande.

[Milton54]

il y a 56 minutes, pzorba75 a dit :

Tu sais, ou devrais savoir, que la dérivée d'une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées de chacune des fonctions. AInsi :

f(x)=x+2/x-2

f'(x)=1-2/x^2, que tu peux bricoler  ta guise suivant ce que l'énoncé demande.

Je connais le résultat mais ce que je veux savoir c'est les détails c'est a dire  les étapes de calculs.

[volcano47]

peut importe, on doit trouver la même chose puisqu'il s'agit au départ de la même fonction mise sous deux formes différentes

f(x)= (x²+2 -2x ) /x te donnes bien évidemment la même dérivée f'(x) = (x²-2) /x² en passant par (u'v-uv')/v²

[Milton54]

il y a 55 minutes, volcano47 a dit :

peut importe, on doit trouver la même chose puisqu'il s'agit au départ de la même fonction mise sous deux formes différentes

f(x)= (x²+2 -2x ) /x te donnes bien évidemment la même dérivée f'(x) = (x²-2) /x² en passant par (u'v-uv')/v²

Donc ce que j'ai fait (sur la photographie) en  mettant au même dénominateur sur l'avant dernier ligne c'est valable aussi ?

[julesx]

Tes étapes sont parfaitement valables. La seule remarque qu'on peut faire, c'est que, comme l'a souligné pzorba75, tu aurais pu dissocier le terme 2/x-2 en calculant séparément les dérivées de 2/x et de 2

(2/x)'=-2/x²

(2)'=0.

En d'autres termes, procéder ainsi

(x+2/x-2)'=(x)'+(2/x)'-(2)'=1-2/x²

que tu réduis éventuellement au même dénominateur si tu le juges utile.

 

[Milton54]

Il y a 1 heure, julesx a dit :

Tes étapes sont parfaitement valables. La seule remarque qu'on peut faire, c'est que, comme l'a souligné pzorba75, tu aurais pu dissocier le terme 2/x-2 en calculant séparément les dérivées de 2/x et de 2

(2/x)'=-2/x²

(2)'=0.

En d'autres termes, procéder ainsi

(x+2/x-2)'=(x)'+(2/x)'-(2)'=1-2/x²

que tu réduis éventuellement au même dénominateur si tu le juges utile.

 

U = x  U' =1

V =2/x -2  V' = 2/x^2 . Admettons que je sépare le 2 alors comment  je vais placer le 2   sous cette forme avec U ou V  . Enfin c'est confus ce que je dis mais j'espère que vous verrais ou je veux en venir.

 

[julesx]

Je ne vois pas où tu veux en venir.  Essayons...

Si tu sépares 2/x et 2, tu as la somme de deux fonctions, la fonction 2/x dont la dérivée est -2/x² et la fonction constante -2 dont la dérivée est nulle.

Si tu conserves 2/x-2, tu as quelque chose du type f(x)+constante dont la dérivée est f'(x) (cf. propriétés des dérivées). Le résultat est évidemment le même, c'est la façon de considérer le problème qui change.

Par contre, pour moi, ce qu'il faut surtout éviter, c'est de réduire au même dénominateur avant de dériver car ça complique forcément les calculs.

[Milton54]

Merci. Par exemple  si on a 2x+ 4 U=2x et U' = 2 puis V = 4 et V'=0

Dans le cas ou j'ai x+2/x-2 comment je fais pour donner les valeurs de U;U' et V;V' sachant que j'utilise cette formule :U'+V' et que je sépare 2/x et -2 .

[volcano47]

attends, quand tu écris f(x)=  x+2/x-2 , on est d'accord que c'est (x) + (2/x) - (2)          (et pas (x+2)/(x-2) j'espère !) 

donc comme tout le monde l'a dit, c'est une somme de 3 termes, la dérivée est la somme des dérivées f '(x)= 1 - 2/x² (une constante a une dérivée nulle puisqu'elle ne varie pas , elle n'a pas de "taux de variation" par définition).

Donc il n'y a pas de mystère. Les u et v sont des notations utilisées dans le cas de quotient f(x) =u(x) /v (x) ou de produit f(x) =u(x).v(x)

Mais tu peux toujours considérer (si c'est bien la question ?) que dans le cas ou g(x) = 2/x, on a u =2 et v =x et alors u'=0 et v' =1 et on trouve aussi g' (x) = (u'v-uv')/v² = - 2/x² mais ça n'a pas d'intérêt particulier. Bien entendu, dans le cas comme g(x) = 2/x on peut aussi considérer que 2/x = 2x^ ( -1) et appliquer "dérivée de x^n =n x ^(n-1)" et on trouve encore (heureusement !) g'(x) = -2/x²

 

[Milton54]

il y a une heure, volcano47 a dit :

attends, quand tu écris f(x)=  x+2/x-2 , on est d'accord que c'est (x) + (2/x) - (2)          (et pas (x+2)/(x-2) j'espère !) 

donc comme tout le monde l'a dit, c'est une somme de 3 termes, la dérivée est la somme des dérivées f '(x)= 1 - 2/x² (une constante a une dérivée nulle puisqu'elle ne varie pas , elle n'a pas de "taux de variation" par définition).

Donc il n'y a pas de mystère. Les u et v sont des notations utilisées dans le cas de quotient f(x) =u(x) /v (x) ou de produit f(x) =u(x).v(x)

Mais tu peux toujours considérer (si c'est bien la question ?) q2ue dans le cas ou g(x) = 2/x, on a u =2 et v =x et alors u'=0 et v' =1 et on trouve aussi g' (x) = (u'v-uv')/v² = - 2/x² mais ça n'a pas d'intérêt particulier. Bien entendu, dans le cas comme g(x) = 2/x on peut aussi considérer que 2/x = 2x^ ( -1) et appliquer "dérivée de x^n =n x ^(n-1)" et on trouve encore (heureusement !) g'(x) = -2/x²

 

J'ai fait une erreur lorsque j'ai écris la fonction c'est celle-ci ci-dessous désolé . Donc cette notation u;u' et v;v' n'est pas possible avec cette fonction ? Parce que normalement nous en cours  que ça soit un quotient comme une addition ou soustraction on utilisait cette notation maintenant qu'il y a 3 termes je sais plus. 

[julesx]

Je crois avoir compris ?

Tu as vu en cours des exemples où la fonction se réduit à la somme (ou la différence) de deux fonctions. Dans ce cas, effectivement, si on pose f=U+V, on a bien f'=U'+V'.

Mais ceci n'est qu'un cas particulier. Si f est de la forme U+V+W+ ... +Z, on a f'=U'+V'+W'+ ... +Z'. A priori, c'est le cas avec x+2/x-2, d'où les réponses données par les intervenants précédents.

Maintenant, si tu veux te ramener à ce que tu as vu en cours, il faut effectivement regrouper deux termes, ce que tu as fait en posant U=x et V=2/x-2. Mais, comme dit plus haut, ceci n'apporte pas grand chose dans ce contexte. Ce n'est pas pareil que de définir U et V dans le cas d'une fraction ou d'un produit, de façon à utiliser (UV)'=U'V+UV' ou (U/V)'=(U'V-UV')/V².

 

[Milton54]

 je voulais juste avoir une confirmation pour savoir si c'est juste de regrouper 2 terme comme je le fait  U=x et V=2/x-2 . Mercii

[julesx]

Donc, problème résolu ? Bonne continuation.

[Milton54]

Il y a 2 heures, julesx a dit :

Donc, problème résolu ? Bonne continuation.

Oui Oui . Merci