DM Nombres Complexes

[Tiphaine522]

Bonjour, je suis en Terminale S et j'aurai besoins d'une âme charitable pour m'aider à réaliser le dernier exercice de mon DM. Je n'ai pratiquement rien compris à ce chapitre et du coup je me retrouve bloqué pour toutes les questions , si quelqu'un veux bien m'aider.

Merci à ceux qui pourront m'aider !

[Barbidoux]

Pour débuter :
1-------------
(z-2)/(z-1)=z ==> (z-1-1)/(z-1)=z ==> 1-1/(z-1)=z ==>(z-1)^2=-1=i^2 ==> z-1=i ==> z=1+i et z-1=-i ==> z=1-i
2-------------
(z-2)/(z-1)=i ==>  (z-1-1)/(z-1)=i ==> 1-1/(z-1)=i ==> z-1=1/(1-i)=(1+i)/2 ==> z=3/2+i/2
3-------------
|z-2|=|BM|
|z-1|=|AB| et arg((z-2)/(z-1))=(vect(BM),vect(MA))

 

[volcano47]

pour commencer:

(1) s'écrit z²- 2z +2 =0 , tu résous comme dans R et z1 =2i et z2 = -2i (conjuguée de z1) sont les deux solutions 

Elles sont toutes deux imaginaires donc leurs arguments sont + /2 et - /2 respectivement

2) là encore, tu fais z-2 =iz - i mais ici c'est du premier degré et la solution est z" = (2-i) /(1-i) . On élimine le plus souvent les imaginaires au dénominateur en multipliant par la quantité conjuguée pour pouvoir mettre z" sous la forme z" =a+ib

z" = (2-i)(1+i) /(1-i)(1+i) =( 2+2i-i-i²) / 2 

 

z ''  =(3+i) /2  que tu représentes dans le plan complexe par le point (3/2 , 1/2) . Le module est , sauf étourderie , tel que

mod z'' = ((3/2)² + (1/2)² )=  (9/4 + 1/4) = (5/2)

et tg arg z" = 1/3 ce qui n'est pas une valeur simple et qui m'étonne un peu; 

je comprends mal la question 3b) : il n' y a qu'un nombre z  solution de (2) (premier degré) ; 

[Tiphaine522]

Merci pour vos réponses même si j'ai un peu de mal à tout comprendre !

[julesx]

Quelques précisions et compléments :

1) Les solutions sont bien 1+i et 1-i.

1+i a pour module √2 et pour argument π/4

1-i a pour module √2 et pour argument -π/4.

2) Cf. Barbidoux, la solution est 3/2+i/2.

On ne demande ni son module, ni son argument.

3)a) |(z-2)/(z-1)|=MB/MA

Arg[(z-2)/(z-1)]=angle[vecteur(AM),vecteur(BM)].

b) z solution de (2) =>

MB/MA=1 donc M appartient à la médiatrice du segment AB

angle[vecteur(AM),vecteur(BM)]=π/2 donc ABM forment un triangle rectangle direct dans le sens A, B, M.

en regroupant les deux, ABM forme un triangle rectangle isocèle.

N.B. : Il y a bien un seul point solution de l'équation (sauf erreur de ma part).

 

[julesx]

Se reporter éventuellement à la pièce jointe pour le post précédent.

4)a) |[(z-2)/(z-1)]ⁿ|=|i|=1 => Quel que soit n, MB/MA=1 donc M reste sur la médiatrice de AB et son abscisse =3/2. La partie réelle de z est donc toujours égale à 3/2.

b) Soit on fait une résolution algébrique, soit on traite le problème de façon géométrique sachant que l'équation peut se traduire par (z-2)/(z-1)=√i dont les argument sont π/4 et -π/4.

Cf. pièce jointe, les solutions sont les affixes de M1 et de M2.