DM fonctions

[lollipop2468]

Bonjour, 

Alors voilà, pour un exercice, il y a une question qui me pose problème, la voici:

-On considère la fonction S(R)=2*Pi*R²+(2/R) sur ]0; +infini[

Etudier les variations de S et dresser son tableau de variations.

Donc j'ai commencé par calculer la dérivée:

4*Pi*R-(2/(R²))

Mais je ne sais pas trop pour la suite...

Merci d'avance pour votre aide.

[anylor]

bonjour

ok pour la dérivée

ensuite tu étudies le signe de la dérivée sur ]0;+oo[

[PAVE]

Bonjour

Dans l'expression de ta dérivée, la variable R figure en dénominateur donc tu dois,  par une mise en dénominateur commun, pouvoir écrire R ' (x) sous forme d'une fraction rationnelle :

N(x) / D(x).

Sous cette forme, étudier le signe de la dérivée revient à étudier le signe du numérateur N(x) puis le signe du dénominateur D(x). On en déduit ensuite le signe du quotient N(x) /D(x) (tableau de signesp).

[lollipop2468]

Re, 

Ok je commence à y voir plus clair....

Par contre sous cette question, il y a comme indication:

"on sera amené à considérer l'équation x³=1/2Pi pour laquelle on montrera l'existence et l'unicité d'une solution α; donner une valeur approchée de α et de S(α)."

[julesx]

En partant de l'équation de la dérivée

f'(R)=4πR-2/R²

après mise en facteur de 2 et réduction au même dénominateur, il vient

f'(R)=2(2πR³-1)/R².

Comme R n'est pas nul (cf. domaine de définition), le dénominateur est toujours positif, et le zéro de la dérivée s'obtient pour 2πR³-1=0,

que l'on peut traduire par 2πx³-1, soit x³=1/(2π), en remplaçant R par x .
On obtient donc bien l'équation suggérée par l'énoncé.

Partant de là, sachant que la fonction x³ est strictement croissante sur ]0,+∞[ et que 1/(2π) est positif, il existe une seule valeur de x vérifiant x³=1/(2π) (voir N.B.).

Je te laisse calculer cette valeur, notée α, ainsi que celle de S(α).

N.B. : L'existence et l'unicité, intuitive ici a priori, peut être démontrée à l'aide du corollaire du théorème des valeurs intermédiaire ou du théorème de la bijection. Si tu as vu l'un des deux, utilise le pour la justification.

 

 

[lollipop2468]

Non, je n'ai vu aucun des deux... 

Mais quand intervient le tableau de signe?

[julesx]

Le tableau de signe de la dérivée intervient dans la détermination des variations de la fonction :

f'(x)<0 => f décroit

f'(x)>0 => f croit.

Ici, il est facile de voir que f'(x) est négatif pour x<α et positif pour x> α.

 

[julesx]

Cela dit, je pense qu'il faut adapter cela à ton expression de départ :

R<α => S(R) décroit jusqu'à sa valeur minimale S(α)

R> α  => S(R) croit à partir de S(α)

en précisant les valeurs approchées de α et de S(α).

 

[lollipop2468]

Je suis désolée mais j'ai du mal à comprendre.

 

[julesx]

Vu l'énoncé, tu as dû voir en cours la partie "Étude des  variations d'une fonction". Il faut t'y reporter car je ne vois pas ce que je pourrais ajouter à mes explications. Attends éventuellement les posts d'autres intervenants, pour des explications alternatives ou des compléments.

[PAVE]

hum !! faisons le point 

 Tu as à étudier le sens de variation de la fonction S qui à la variable R fait correspondre S(R)=2*Pi*R²+(2/R) sur ]0; +infini[

D'où vient cette fonction ? mystère mais peu importe ! on suppose que c'est la bonne fonction .

Tu as trouvé sa dérivée : S'(R) = 4*Pi*R-(2/(R²)).

Je pense que tu as vu en cours que le signe de la dérivée permet de déduire le sens de variation de la fonction ... Oui ou non ?

Si oui il te faut donc étudier le signe de  S' (R) = 4*Pi*R-(2/(R²))

Relis ce que j'ai essayé de t'expliquer..... dans un de mes premiers messages.

a) mettre 4*Pi*R-(2/(R²)) sous forme d'un quotient N(R) / D(R)  [on prend R² comme dénominateur commun]

(4 pi R³)/ (R²)  - 2/(R² ) = (4piR³ -2) / R²

b) étude du SIGNE du dénominateur R²

    R² est POSITIF sur ]0; +infini[

c) étude du signe du numérateur N(R) = 4piR³ -2 

N(R) est nul si 4piR³ -2 = 0 * <==> R³ = 2/(4pi) soit  R³ = 1/(2pi)  soit R = racine cubique de (1/(2pi) ) Ta calculatrice te donnera une valeur approchée de ce nombre noté α (dont le cube vaut 1/(2pi) !!)

N(R) est positif si 4piR³ -2 > 0  <==> R³ > 2/(4pi) soit  R³ > 1/(2pi)  soit R>α

N(R) est négatif si 4piR³ -2 < 0  <==> R³ < 2/(4pi) soit  R³ < 1/(2pi)  soit R<α

* "on sera amené à considérer l'équation x³=1/2Pi pour laquelle on montrera l'existence et l'unicité d'une solution α; donner une valeur approchée de α et de S(α)."

 

[PAVE]

 

Alors tu as trouvé combien pour "alpha" ? 

 

 

 

[lollipop2468]

Bonjour, 

Donc, j'ai trouvé α=0,54 (environ)

Et du coup S(α)=5,54 (environ)

ce qui est cohérent avec le la courbe que vous avez fournie.

[PAVE]

Nous sommes d'accord 

[lollipop2468]

Re,

En fait il s'agit d'un exercice sur les boîtes de conserve, et la question suivante demande de tracer la courbe de S sur Géogébra, donc je l'ai fait mais sur le logiciel, le minimum a pour coordonnées (0.56 et 7.09)... 

[lollipop2468]

AH non, excusez moi, j'ai fait une fausse manip' ... 

bref, sinon merci beaucoup pour votre aide