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Exercice Maths seconde


Dan-nul-maths
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  • E-Bahut

(x-4)(3-x)<=0

Tu fais un tableau de signes avec 3 colonnes  -infini; 3; 4;+infini (x-4=0<=>x=4 et 3-x=0<=>x=3)

Et tu places une ligne avec le signe de x-4, une deuxième ligne avec le signe de 3-x et une ligne avec le signe du produit qui te permet de conclure en donnant l'ensemble S des solutions de l'inéquation (x-4)(3-x)<=0.

Au travail.

Je n'irai pas plus loin.

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  • E-Bahut

Bonjour Dan,

Si tu lis l'énoncé de l'exercice 15 qui précède, tu as la méthode à suivre (et à mémoriser car elle sert souvent !)

Pour résoudre une inéquation de ce type : un PRODUIT de facteurs dans le premier membre et ZERO dans le second membre, il faut (en Seconde tu n'as pas vraiment le choix) :

a) étudier le SIGNE de l'expression qui est dans le 1er membre (ici l'expression étant un PRODUIT, il faut étudier successivement le signe de chaque FACTEUR)

b) à partir du tableau de signes obtenu, voir pour quelles valeurs de x cette expression est par exemple NEGATIVE (si <=0) ou POSITIVE (si >=0)

c) écrire l'ensemble des solutions trouvées S = ?

Je viens de voir que Pzorba t'a fourni des indications qui complètent les miennes. 

A toi maintenant d'exploiter tout cela et de nous montrer (si tu le souhaites) ce que tu obtiens... pour félicitations :) ou corrections éventuelles !!

 

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  • E-Bahut

Une règle qui peut te permettre de faire ces exercices assez vite : le signe d'un trinôme du second degré est celui du coefficient de x^2 à l'extérieur de ses racines.
16---------------------
(x-4)*(3-x)≤0 racines 4 et 3, coefficient  x^2 <0 donc (x-4)*(3-x)≤0 pour appartenant à ]-∞,3] U[4,∞[
---------------
(-2*x+3)*(5+x)>0 racines 3/2 et -5, coefficient  x^2 <0 donc (-2*x+3)*(5+x)>0 pour x appartenant à ]-5, 3/2[
18---------------------
f(x)=-2*x(x-1)*(4-x)≤0
(x-1)*(4-x) a pour racines 1 et 4  coefficient  x^2 <0 donc (-2*x+3)*(5+x)>0 pour x appartenant à [1,4]
tableau de signes
x…………………………………..0………………..........1……………..….4……………….......
(x-1)*(4-x)…………..(-)…………………...(-)…….(0)…….(+)……(0)...…(-)……………
-2*x…………………....(-)…………(0)…….(+)……………...(+)……………..(+)……………
f(x)………………….,..(+)………….(0)……(-)……..(0)……(+)……(0)…….(-)………….

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  • E-Bahut

(x-4)^2 est un carré donc toujours >0, mais l'on peut aussi appliquer la règle que je t'ai donnée. (x-4)^2 est un polynôme du second degré qui a une racine double et coef de x^2 >0 donc toujours de signe positif sauf pour x=4 ou l'expression est nulle.

La propriété que je t'ai donnée revient à énoncer le résultat  d'un tableau de signe d'un polynôme du second degré  sans  avoir à le faire. Exemple signe de  (x-1)*(4-x)
x……………………………...........1…………….....….4……………….......
(x-1)…………..(-)………….……(0)……(+)…………………(+)………..
(4-x)…………..(+)…….………………….(+)……….(0)………(-)……………
(x-1)*(4-x)……(-)……………(0)…….(+)…….…(0)……….(-)……………

résultat (x-1)*(4-x)>0 pour x appartenant ]1;4[
-------
Règle (x-1)*(4-x) du signe du coefficient de x^2 (donc ici <0) à l'extérieur de ses racines (donc du signe contraire c'est-à-dire ici +) à l'intérieur de ses racines. Les racines étant égales à 1,et 4 on en déduit que (x-1)*(4-x)>0 pour x appartenant ]1;4[ ce qui est bien la même chose que ce que donne le tableau de signes

Cette règle s'applique au aussi au rapport de deux polynôme de degré 1 le signe de (x-1)/(4-x) par exemple. Dans ce cas faire attention à la valeur interdite (ici 4) qui annule le dénominateur de la fraction. Résultat (x-1)*(4-x)>0 pour x appartenant ]1;4[ ce qui est équivalent au tableau de signes

x……………………………...........1…………….....….4……………….......
(x-1)…………..(-)………….……(0)……(+)…………………(+)………..
(4-x)…………..(+)…….………………….(+)………..||………(-)……………
(x-1)*(4-x)……(-)……………(0)…….(+)…….….||……….(-)……………

résultat (x-1)/(4-x)>0 pour x appartenant ]1;4[

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  • E-Bahut

Bonsoir à vous deux,

Dan d'après son profil est un élève de SECONDE et la propriété concernant le signe d'un trinôme du second degré (de même que les formules donnant les racines) n'est pas au programme de SECONDE.

On voit cela en Première. En Seconde, le tableau de signes après factorisation est la démarche habituelle...

Cordialement

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j'ai essayé avec la propriété que Barbidoux m'a montré pour l'exercice 19 

J'obtiens 19.a) ( 2x+3)(2x-3)≤0 racine - 3/2 et 3/2 coefficient x² <0 donc (2x+3)(2x-3) est inférieur ou égal à 0 si S=[-3/2;3/2]

 

même si les trinômes ne font pas parti du programme je te remercie Barbidoux cela m'a permis de découvrir une autre manière de faire l'exercice et à mieux le comprendre 

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  • E-Bahut
il y a 4 minutes, PAVE a dit :

 En Seconde, le tableau de signes après factorisation est la démarche habituelle...

il y a 5 minutes, Dan-nul-maths a dit :

j'ai essayé avec la propriété que Barbidoux m'a montré pour l'exercice 19 

J'obtiens 19.a) ( 2x+3)(2x-3)≤0 racine - 3/2 et 3/2 coefficient x² >0 donc (2x+3)(2x-3) est inférieur ou égal à 0 si S=[-3/2;3/2]

une petite faute de frappe mais sinon c'est bon

 

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  • E-Bahut

et allez, soyons fous, une petite pour la route qui elle ne nécessite ni tableau de signe ni règle….:lol::lol:
f(x)=(2*x+3)*(2*x-3) est la forme factorisée d'un polynôme du second degré. Son graphe est une parabole. Le coefficient de x^2 de ce polynôme étant positif cette parabole est ouverte vers le haut. Ce polynôme admettant deux racines x=3/2 et x=-3/2 le graphe de cette parabole coupe l'axe des abscisses en des points dont les abscisses sont les racines du polynôme. Entre ces racines le graphe de f(x) est situé en dessous de l'axe des abscisses. En conséquence f(x)<0 lorsque x appartient à ]-3/2,3/2[

Untitled-1.jpg.18ee96cf5a898cd7a130ce78d7d80a41.jpg

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  • E-Bahut

et en plus, cette méthode par lecture graphique est tout a fait dans l'esprit du programme de Seconde. Moi j'aime bien cette approche graphique qui permet de VERIFIER  très rapidement les calculs.... il faut 30 secondes pour avoir la courbe sur une calculatrice.

Dan est gâté... on s'occupe plus que bien de lui.:D

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