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Etude d'une suite homographique


chacha778

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Bonjour à tous, j'ai un dm à rendre pour la semaine prochaine, j'ai donc décidé de m'y prendre assez tôt car j'ai un peu de mal, voici mon exercice:

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] -1/2; + l'infini [ par f(x)= (3x)/(2x+1)

On considère la suite définie pour tout n appartenant à N par: U0= 1/2 et Un+1 = (3Un)/(2Un+1)

1. Étudier les variations de f et tracer la représentation graphique

Je trouve pour 2x+1 x= -1/2 et pour 3x x= -3 soit dans mon tableau + - + mais je n'arrive pas à tracer, dois-je juste faire les variations soit croissante, décroissante, croissante ?

2. Calculer U1 et U2

U1 = 1/4  et U2 = 1/2

3. Étude de la convergence de Un

a. Montrer par récurrence que 0 < Un < ou égal à 1

Initialisation : 0 < Un  soit 0 < U0 soit 0 < 1/2 La propriété est vraie pour n=0

Hérédité: supposons que Un > 0 et montrons que Un+1 > 0  Un+1 = ( 3Un)/(2Un +1) soit (3*1/2)/(2*1/2 +1) = 3/4 La propriété est héréditaire

Conclusion : La propriété ' Un > 0 ' est vraie pour n=0 et elle est héréditaire. Donc elle est vraie pour tout n

Initialisation : Un < ou égal à 1 n=1  1 > 1/2 donc la propriété est vraie pour n=1

Hérédité : Supposons que 1 > ou égal à  Un et montrons que 1 > ou égal à Un+1 soit (3*1)/( 2*1 +1) = 1 La propriété est héréditaire

Conclusion : La propriété ' Un < ou égal à 1 ' est vraie et elle est héréditaire.

b. Montrer que Un+1 - Un = 2Un * (1-Un)/(2Un+1)

J'ai penser faire un produit en croix mais je me suis totalement perdue..

c. En déduire que Un+1 - Un > ou égal à 0, que peut-on en conclure sur le sens de variation de Un

Je n'ai pas réussi

d. A l'aide du théorème 4 du cours que l'on admettra, montrer que Un converge 

Je n'y arrive pas non plus

4. Calcul de limite de Un

Soit Un la suite définie pour tout n appartenant à N  par Vn = ( Un)/(1 - Un)

a. Exprimer Vn+1 en fonction de Vn

j'ai donc fais Vn+1 - Vn et j'arrive à ( 3Un)/( 2Un +1) - ( 2Un+1)/(-6Un2 -3Un)..

b. En déduire que Vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison

V0 = 1/4 V1 = 3/16 V2 = 1/4 Je trouve que du premier au deuxième terme on fait * 3/4 mais pour la suite sa ne colle pas du coup je ne sais pas la raison exacte

c. Exprimer Vn en fonction de n

Je n'y arrive pas, j'ai juste commencer par Vn = ( Un)/( 1 - Un)

d. Exprimer Un en fonction de Vn

Or je ne comprend pas car nous n'avons pas la suite Un

5. Ma photo ne veut pas charger donc je ne sais pas comment vous décrire ce qu'il y a de marquer, il y a le grand E mathématiques avec k=7 au dessus et k=0 en dessous avec à côté du E Vk. La question est de le calculer

6. En conclure que Un = ( 3n)/( 1 + 3n)

7. Montrer que Un = (1)/( 1 + (1/3)n ) En déduire la limite de Un

Je suis complétement perdue pour ces questions..

J'aimerais juste des explications pour que je puisse le faire tout en comprenant pourquoi je n'y arrive pas, merci d'avance !

 

 

 

 

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1) déjà tu écris : "Je trouve pour 2x+1 x= -1/2 et pour 3x x= -3 "

La racine de 2x+1 =0 est x =-1/2 donc 2x+1 >0 pour x > -1/2

La fonction n'est pas définie pour x =-1/2 

la valeur x= -3 n'a rien de spécial : 3x est du signe de x, c'est tout 

donc ton tableau est :  x  variant de - oo  à -1/2 exclus , numérateur négatif et dénominateur négatif donc f(x) positif croit de 3/2 à +oo

                                        x  variant de -1/2 exclu à + oo, f(x) croit de - oo à + oo en passant par la valeur 0 pour x =0

(si tu as vu la dérivée, c'est f'(x) =3/(2x+1)² toujours positive donc f(x) toujours croissante sur ses deux intervalles de définition ).  

Pour x ---> + ou - oo , la limite est +3/2 (rapport des termes de plus haut degré). Les droites y = 3/2 et x =-1/2 sont asymptotes .

 

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  • E-Bahut

SI tu attends de l'aide, dis toi avant de poser tes questions que tu dois être lisible, sans demander trop d'effort. Les boutons de mise en forme des indices et des exposants sont là pour rendre lisibles tes expressions, cela demande du soin, autant pour toi que pour ceux qui vont aider.

Ta démonstration par récurrence est incompréhensible, à cause de l'écriture et tu n'utilises pas la propriété de la fonction f qui doit être utilisée. 

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  • E-Bahut

Je n'aide pas avec des pièces jointes en sujet ou en réponses.

Sur un forum, l'aide apportée doit être accessible par google pour être partagée entre plusieurs élèves et éviter de faire et refaire les mêmes sujets ce qui est le cas avec des photos en pièces jointes.

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  • E-Bahut

Pour être lisible en écrivant au clavier, il faut appliquer quelques règles identiques à celles en usage sur une calculatrice type Texas 82 ou Casio Lycée. La principale est celle des parenthèses qui donnent l'ordre de priorité des opérations par exemple 3x+1/2x+2 n'est pas égal à (3x+1)/(2x+2) mais à 3x+2+1/2*x, et pour ce qui est des indices et des exposants il faut impérativement se servir des boutons X2 et X2 de l'éditeur de texte de e-bahut. Ainsi f(x)=3x/(2x+1) et un+1=3un/(2un+1), sans cet effort, ton texte est illisible et incompréhensible.

À toi de t'y coller.

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Merci pour la précision, ainsi f(x)= 3x/(2x+1)

un+1=3un/(2un+1)

3a. Démonstration de Un>0
Initialisation : 0 < Un  soit 0 < U0 soit 0 < 1/2 La propriété est vraie pour n=0
Hérédité: On suppose que  Un > 0
 Un+1= 3Un/(2Un +1)  comme Un>0 alors Un+1 >0. La propriété est héréditaire
Conclusion : La propriété ' Un > 0 ' est vraie pour n=0 et elle est héréditaire. Donc elle est vraie pour tout n

Initialisation : U0 =1/2 ≤1 n=1  1 > 1/2 donc la propriété est vraie pour n=1
Hérédité : Supposons que 1≥ Un
Un+1= 3Un/(2Un+1)=(2Un+Un )/(2Un+1) et comme   Un ≤1 alors Un+1 ≤1. La propriété est héréditaire
Conclusion : La propriété ' Un ≤ 1 ' est vraie pour n=0 et elle est héréditaire. Donc elle est vraie pour tout n


b. Un+1-Un =3Un/(2Un+1)-Un= (3Un-Un-2(Un)2)/(2Un+1)= 2Un*(1-Un)/(2Un+1)

4a. Vn+1=Un+1/(1 - Un+1)=(3Un/(2Un +1)  )/(1-3Un/(2Un +1))=3Un/(2-2Un)=(3/2)*( Un)/(1 - Un)=(3/2)*Vn

b. Vn est une suite géométrique de premier terme V0= 1/(1-1/2)=1 et la raison 3/2

c. Vn=(3/2)n

d. Vn =  Un/(1 - Un) ==> Un = Vn/(1 +Vn)= (3/2)n/(1+(3/2)n)=1/(1+(2/3)n)

C'est mieux comme ça ?

 

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  • E-Bahut

A pzorba75 !

Je veux bien qu'on soit un peu critique vis à vis des demandes, mais là, vous exagérez. Dans son post initial, la seule chose qu'on peut reprocher à chacha778, c'est les Un+1 malvenus, qui auraient dû être des Un+1. Il ne faut pas lui faire grief ensuite d'avoir posté en complément une image de l'énoncé !

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