Etude d'une suite homographique

[chacha778]

Bonjour à tous, j'ai un dm à rendre pour la semaine prochaine, j'ai donc décidé de m'y prendre assez tôt car j'ai un peu de mal, voici mon exercice:

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] -1/2; + l'infini [ par f(x)= (3x)/(2x+1)

On considère la suite définie pour tout n appartenant à N par: U₀= 1/2 et U_n+1 = (3U_n)/(2U_n+1)

1. Étudier les variations de f et tracer la représentation graphique

Je trouve pour 2x+1 x= -1/2 et pour 3x x= -3 soit dans mon tableau + - + mais je n'arrive pas à tracer, dois-je juste faire les variations soit croissante, décroissante, croissante ?

2. Calculer U1 et U2

U1 = 1/4  et U2 = 1/2

3. Étude de la convergence de U_n

a. Montrer par récurrence que 0 < U_n < ou égal à 1

Initialisation : 0 < U_n  soit 0 < U₀ soit 0 < 1/2 La propriété est vraie pour n=0

Hérédité: supposons que U_n > 0 et montrons que U_n+1 > 0  U_n+1 = ( 3U_n)/(2U_n +1) soit (3*1/2)/(2*1/2 +1) = 3/4 La propriété est héréditaire

Conclusion : La propriété ' U_n > 0 ' est vraie pour n=0 et elle est héréditaire. Donc elle est vraie pour tout n

Initialisation : Un < ou égal à 1 n=1  1 > 1/2 donc la propriété est vraie pour n=1

Hérédité : Supposons que 1 > ou égal à  U_n et montrons que 1 > ou égal à U_n+1 soit (3*1)/( 2*1 +1) = 1 La propriété est héréditaire

Conclusion : La propriété ' U_n < ou égal à 1 ' est vraie et elle est héréditaire.

b. Montrer que U_n+1 - U_n = 2U_n * (1-U_n)/(2U_n+1)

J'ai penser faire un produit en croix mais je me suis totalement perdue..

c. En déduire que U_n+1 - U_n > ou égal à 0, que peut-on en conclure sur le sens de variation de U_n

Je n'ai pas réussi

d. A l'aide du théorème 4 du cours que l'on admettra, montrer que U_n converge 

Je n'y arrive pas non plus

4. Calcul de limite de U_n

Soit U_n la suite définie pour tout n appartenant à N  par V_n = ( U_n)/(1 - U_n)

a. Exprimer V_n+1 en fonction de V_n

j'ai donc fais V_n+1 - V_n et j'arrive à ( 3U_n)/( 2U_n +1) - ( 2U_n+1)/(-6U_n² -3U_n)..

b. En déduire que V_n est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison

V₀ = 1/4 V₁ = 3/16 V₂ = 1/4 Je trouve que du premier au deuxième terme on fait * 3/4 mais pour la suite sa ne colle pas du coup je ne sais pas la raison exacte

c. Exprimer V_n en fonction de n

Je n'y arrive pas, j'ai juste commencer par V_n = ( U_n)/( 1 - U_n)

d. Exprimer U_n en fonction de V_n

Or je ne comprend pas car nous n'avons pas la suite U_n

5. Ma photo ne veut pas charger donc je ne sais pas comment vous décrire ce qu'il y a de marquer, il y a le grand E mathématiques avec k=7 au dessus et k=0 en dessous avec à côté du E Vk. La question est de le calculer

6. En conclure que U_n = ( 3ⁿ)/( 1 + 3ⁿ)

7. Montrer que U_n = (1)/( 1 + (1/3)ⁿ ) En déduire la limite de U_n

Je suis complétement perdue pour ces questions..

J'aimerais juste des explications pour que je puisse le faire tout en comprenant pourquoi je n'y arrive pas, merci d'avance !

 

 

 

 

[volcano47]

1) déjà tu écris : "Je trouve pour 2x+1 x= -1/2 et pour 3x x= -3 "

La racine de 2x+1 =0 est x =-1/2 donc 2x+1 >0 pour x > -1/2

La fonction n'est pas définie pour x =-1/2 

la valeur x= -3 n'a rien de spécial : 3x est du signe de x, c'est tout 

donc ton tableau est :  x  variant de - oo  à -1/2 exclus , numérateur négatif et dénominateur négatif donc f(x) positif croit de 3/2 à +oo

                                        x  variant de -1/2 exclu à + oo, f(x) croit de - oo à + oo en passant par la valeur 0 pour x =0

(si tu as vu la dérivée, c'est f'(x) =3/(2x+1)² toujours positive donc f(x) toujours croissante sur ses deux intervalles de définition ).  

Pour x ---> + ou - oo , la limite est +3/2 (rapport des termes de plus haut degré). Les droites y = 3/2 et x =-1/2 sont asymptotes .

 

[chacha778]

Bonjour, donc mon 3x je le laisse comme ça je n'y touche pas ? Ce qui fait que mon tableau reste quand même bon ?  soit + - + ? Je ne comprend pas très bien tes explications par rapport au tableau

[pzorba75]

Pour ma part, j'obtiens u₁=3/4 et u₂=9/10. Le suite tend vers 1.

[chacha778]

Bonjour, oui en effet je viens de refaire mes calculs et j'obtiens comme toi pour U1 et U2

[pzorba75]

SI tu attends de l'aide, dis toi avant de poser tes questions que tu dois être lisible, sans demander trop d'effort. Les boutons de mise en forme des indices et des exposants sont là pour rendre lisibles tes expressions, cela demande du soin, autant pour toi que pour ceux qui vont aider.

Ta démonstration par récurrence est incompréhensible, à cause de l'écriture et tu n'utilises pas la propriété de la fonction f qui doit être utilisée. 

[chacha778]

Je me suis pourtant servie des indices et exposants, désoler dans ce cas. Je vais mettre une photo ça sera surement plus simple comme ça.

[pzorba75]

Je n'aide pas avec des pièces jointes en sujet ou en réponses.

Sur un forum, l'aide apportée doit être accessible par google pour être partagée entre plusieurs élèves et éviter de faire et refaire les mêmes sujets ce qui est le cas avec des photos en pièces jointes.

[chacha778]

Je vais essayer de tout écrire comme il faut dans ce cas, qu'est ce qui est illisible pour toi ? 

[pzorba75]

Pour être lisible en écrivant au clavier, il faut appliquer quelques règles identiques à celles en usage sur une calculatrice type Texas 82 ou Casio Lycée. La principale est celle des parenthèses qui donnent l'ordre de priorité des opérations par exemple 3x+1/2x+2 n'est pas égal à (3x+1)/(2x+2) mais à 3x+2+1/2*x, et pour ce qui est des indices et des exposants il faut impérativement se servir des boutons X² et X₂ de l'éditeur de texte de e-bahut. Ainsi f(x)=3x/(2x+1) et u_n+1=3u_n/(2u_n+1), sans cet effort, ton texte est illisible et incompréhensible.

À toi de t'y coller.

[chacha778]

Merci pour la précision, ainsi f(x)= 3x/(2x+1)

u_n+1=3u_n/(2u_n+1)

3a. Démonstration de U_n>0
Initialisation : 0 < U_n  soit 0 < U₀ soit 0 < 1/2 La propriété est vraie pour n=0
Hérédité: On suppose que  U_n > 0
 U_n+1= 3U_n/(2U_n +1)  comme U_n>0 alors U_n+1 >0. La propriété est héréditaire
Conclusion : La propriété ' U_n > 0 ' est vraie pour n=0 et elle est héréditaire. Donc elle est vraie pour tout n

Initialisation : U₀ =1/2 ≤1 n=1  1 > 1/2 donc la propriété est vraie pour n=1
Hérédité : Supposons que 1≥ U_n
U_n+1= 3U_n/(2U_n+1)=(2U_n+U_n )/(2U_n+1) et comme   U_n ≤1 alors U_n+1 ≤1. La propriété est héréditaire
Conclusion : La propriété ' U_n ≤ 1 ' est vraie pour n=0 et elle est héréditaire. Donc elle est vraie pour tout n

b. U_n+1-U_n =3U_n/(2U_n+1)-U_n= (3U_n-U_n-2(U_n)²)/(2U_n+1)= 2U_n*(1-U_n)/(2U_n+1)

4a. V_n+1=U_n+1/(1 - U_n+1)=(3U_n/(2U_n +1)  )/(1-3U_n/(2U_n +1))=3U_n/(2-2U_n)=(3/2)*( U_n)/(1 - U_n)=(3/2)*V_n

_b. V_n est une suite géométrique de premier terme V₀= 1/(1-1/2)=1 et la raison 3/2

c. V_n=(3/2)ⁿ

^d. V_n =  U_n/(1 - U_n) ==> U_n = V_n/(1 +V_n)= (3/2)ⁿ/(1+(3/2)ⁿ)=1/(1+(2/3)ⁿ)

C'est mieux comme ça ?

 

[julesx]

A pzorba75 !

Je veux bien qu'on soit un peu critique vis à vis des demandes, mais là, vous exagérez. Dans son post initial, la seule chose qu'on peut reprocher à chacha778, c'est les U_n+1 malvenus, qui auraient dû être des U_n+1. Il ne faut pas lui faire grief ensuite d'avoir posté en complément une image de l'énoncé !

[chacha778]

julesx, merci bien mais ne t'en fais pas ce n'est rien, j'aurais du dès le départ écrire comme il le fallait aussi c'est de ma faute

[pzorba75]

@ Julesx : je réponds à ma façon aux demandes d'aide et méprise les commentaires des intervenants sur mon travail.