Théorème liant racine d'un polynôme et factorisation

[C8H10N4O2]

Bonjour à toutes et tous, 

Je bloque sur la démonstration du théorème énonçant que si a est une racine du polynome f, alors il existe un polynôme g tel que f(x) = (x-a).g(x)

J'essaie de suivre le raisonnement proposé sur le site de 'la taverne de l'irlandais' que certains d'entre vous connaissent peut être  (cf. la capture d'écran ci-joint). 

Premièrement, je ne vois pas comment à partir de l'expression réduite classique d'un polynôme : f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1+...+ a₂x² + a₁x + a₀ , on arrive à une expression de type 

g_k(x) = x^k-1 + x^k-2.a + x^k-3.a² +...+ x².a^k-3 + x.a^k-2 + a^k-1 . Les coefficients et les exposants me semblent clairs en f mais en g_k je ne saisis pas la logique... que vient faire cet indice k dans g_k ? Quel est son rôle? 

 

Deuxièmement, à la fin de la démonstration, je ne comprends pas pourquoi a_ng_n(x) + a_n-1g_n-1(x) +...+ a₂g₂(x) +  a₁ est égal à g(x) .

 

Merci d'avance pour votre aide !!

 

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

Il est vrai que la forme éclatée ne rend pas la lecture de la démonstration facile. Connais tu la notation des sommes avec la notation sigma majuscule ? Si oui, je peux te la réécrire avec la notation sigma, ça sera plus clair je pense.

[Boltzmann_Solver]

PS : mais cette étape n'est qu'une application de (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd mais avec beaucoup de termes.

[pzorba75]

a_ng_n(x) + a_n-1g_n-1(x) +...+ a₂g₂(x) +  a₁ est égal à g(x), où g est-elle définie?

[Invité]

La notation g(x) n'est pas très heureuse, car en dehors du fait qu'il s'écrit comme combinaison linéaire des g_k(x), ce n'est pas un g_k. Par contre c'est un polynôme.

Or, ce qu'on voulait montrer c'est que , f étant un polynôme, si f(a)=0, alors il existe un polynôme g(x) tel que f(x) =(x-a)*g(x). En d'autres termes que f est divisible par (x-a).

A la fin du calcul, on voit bien que ce qui est entre crochets est effectivement un polynôme d'ailleurs de degré n-1 si f est de degré n.

[Barbidoux]

[C8H10N4O2]

Merci beaucoup pour vos réponses !!

Je comprends globalement la démonstration proposée, mais je ne me sens pas capable de la reproduire par moi même parce que deux éléments me semblent un peu 'sortis du chapeau' sans que j'en saisisse très bien l'origine.

1/ Autant je comprends l'écriture développée de f(x) comme somme de termes en x élevés à une puissance auxquels s'appliquent des coefficients( a_n, a_n-1, etc.) autant l'expression proposée de g_k(x) me semble obscure : je ne vois pas comment la déduire simplement de celle de g(x) par exemple ;

et 2/ comme l'a remarqué JLN (au passage un salut amical aux anciens cyberpapys), l'équivalence de l'expression entre crochets à la fin de la démonstration avec g(x) ne me semble pas être évidente.

[Invité]

Salut amical CUH10N4O2 (mais moi je n'ai pas changé de pseudo...) 

Ce n'est pas tout à fait ce que j'ai voulu dire. A la fin, on a une expression entre crochet,  qu'on baptise g(x) (accolade), dont on voit bien que c'est un polynôme.

On a ainsi démontré que si le polynôme f(x) s'annule en a, alors il existe un polynôme g(x) tel que f(x)=(x-a)g(x).

Il ne faut pas chercher à déduire g_k(x) de g(x), c'est sans intérêt.

Par contre g_k(x)est défini par x^k-a^k = (x-a) g_k(x) et l'on a g_k(x) = x^k-1+a x^k-2+...+a^k-2x + a^k-1 

C'est une formule qu'on retient plutôt sous la forme suivante (qu'il faut connaître)

y^k-1 =(y-1) (y^k-1+y ^k-2+y^k-3+....+y + 1 ) . Rien n'empêche ensuite de poser y=x/a et de multiplier par a^k

[C8H10N4O2]

Il y a 6 heures, Barbidoux a dit :

Merci beaucoup pour votre réponse. Il me semble qu'elle reprend (avec la notation Sigma) celle que j'ai posté. Est-il possible d'expliciter la démonstration par récurrence? Pourquoi ,dans l'avant-dernière ligne, passe-t-on de ∑x

[Barbidoux]

dans mon précédent message j'étais allé un peu trop vite  il y avait quelques coquilles (indices de somme ) et une faute de frappe x^n à la place de x^j.

[Barbidoux]

là cela devrait être un peu mieux, enfin si j'arrive à joindre la figure....

 

[Barbidoux]

décidément je n'arrive pas à faire ce que je veux avec l'enregistrement de mes message ce soir ...

j'ai du cliquer sur de cases où il ne fallait pas 

[Invité]

En variante, et pour le fun, je vais vous donner une autre démo.

y^k-1 =(y-1) (y^k-1+y ^k-2+y^k-3+....+y + 1 )   (1)

C'est trivialement vrai pour k=1 : y-1=y-1

On suppose que c'est vrai à l'ordre k.

y^k+1-1 =y^k+1-y+y-1 =y(y^k-1)+y-1 = y(y-1) (y^k-1+y ^k-2+y^k-3+....+y + 1 ) +y-1 d'après l'hypothèse de récurrence, d'où en mettant y-1 en facteur

y^k+1-1= (y-1)[ y(y^k-1+y ^k-2+y^k-3+....+y + 1 ) +1] = (y-1)(y^k+y ^k-1+y^k-2+....+y + 1 ) ce qui établit la relation à l'ordre k+1.

La formule est donc vraie par récurrence.  Maintenant posons y=x/a et multiplions para^k. La relation (1) devient

a^k((x/a)^k-1)= x^k-a^k =(x-a) (x^k-1+a x ^k-2+ a² x^k-3+....+x + 1 ) et l'on retrouve le fameux g_k(x)

 

 

[C8H10N4O2]

Merci beaucoup à tous les deux pour vos réponses!! Je vais prendre le temps de les examiner attentivement ! 

[Invité]

Il y a 9 heures, JLN a dit :

blabla.... La relation (1) devient

a^k((x/a)^k-1)= x^k-a^k =(x-a) (x^k-1+a x ^k-2+ a² x^k-3+....+a^k-2x + a^k-1 ) et l'on retrouve le fameux g_k(x)

 

 

J'ai donc encore le temps de corriger ci-dessus en gras une étourderie. Désolé.

[C8H10N4O2]

Après avoir digéré le dernier post de Barbidoux, voilà ce que j'ai compris : 

1/Comme f(a)=0, on a : f(x)-f(a) = f(x) = ∑ⁿ_k=0 a_kx^k - ∑ⁿ_k=0 a_ka^k = ∑ⁿ_k=0 a_k(x^k-a^k)

2/La relation : x^k - a^k = ∑^k-1_j=0 x^ja^k-1-j  donne au degré 1 : x¹-a¹ = (x-a) ∑⁰_j=0 x^j.a^j = x-a ; au degré 2, x²-a² = (x-a) ∑¹_j=0 x^ja^1-j = (x-a).(a+x) ;

 au degré 3, x³-a³ = (x-a) ∑²_j=0 x^ja^2-j = (x-a).(a²+xa+x²) . On retrouve en effet bien les identités remarquables connues. 

3/ On raisonne par récurrence : on suppose la relation vraie au rang n et on montre qu'elle est vérifiée au rang n+1. Or étant vraie au rang 1, elle l'est aussi au rang 2 ainsi qu'au suivant et ainsi de suite de proche en proche. 

On trouve ensuite bien f(x) = ( x-a ). ∑ⁿ_k=0 a_k ∑^k-1_j=0 x^ja^k-j-1  . J'avoue que le second membre du produit ne m'apparaît pas immédiatement comme un polynôme, mais ça doit être dû à mon manque de familiarité avec la notation Sigma. 

 

Je vais maintenant me pencher sur le post de JLN

[Barbidoux]

une somme de termes qui sont le produits de constantes par une puissance de x c'est bien la définition d'un  polynôme de x.

Tu as intérêt à bien étudier l'avant denier message de JLN, (bien jolie démo astucieuse qui est bon d'avoir vue et qui est à  garder en mémoire).

[C8H10N4O2]

Oui, mais je serais bien incapable d'écrire  (x-a) ∑ⁿ_k=0 a_k ∑^k-1_j=0 x^ja^k-1-j sous forme développée 'classique' afin d'y reconnaître un polynôme d'un degré inférieur à celui de f.

 

Merci toutefois pour vos explications limpides !!

[C8H10N4O2]

Le Friday, April 14, 2017 at 23:19, JLN a dit :

En variante, et pour le fun, je vais vous donner une autre démo.

y^k-1 =(y-1) (y^k-1+y ^k-2+y^k-3+....+y + 1 )   (1)

C'est trivialement vrai pour k=1 : y-1=y-1

 

 

Je ne vois pas pourquoi en prenant k=1, le second terme (y^K-1 + y^K-2 + y^K-3 +...+ y +1) devient égal à 1 :/ 

 

Merci de bien vouloir m'éclairer !

[Invité]

Quand k=1, (y^k-1+y ^k-2+y^k-3+....+y + 1 )= (y^k-1+y ^k-2+y^k-3+....+y + y⁰) se réduit à son premier (et dernier) terme qui est y⁰ =1

[C8H10N4O2]

Merci beaucoup ! En fait je venais de réaliser qu'en développant, j'obtiens (y^k+y^k-1+y^k-2+...+y²+y) - (y^k-1+y^k-2+...+y²+y+1) , et que tous les termes s'éliminent sauf y^k et 1.

Quelle est la règle qui dit que (1+ y^-1+ y^-2 +...+y²+y+1) se réduit à son premier et dernier terme ?

[Invité]

C'est de cette expression dont je parlais

(y^k-1+y ^k-2+y^k-3+....+y + 1 )

C'est une simple question d'écriture des exposants

Elle est égale à (y^k-1+y ^k-2+y^k-3+....+y + y⁰)

et si on fait k=1, le premier terme est y⁰, donc c'est le seul.

Si on fait k=2, on obtient y+y⁰ (=y+1), etc.

 

[C8H10N4O2]

D'accord, donc en définitive c'est une expression qui signifie qu'on effectue la somme des y^k-n de n=1 jusqu'à n=k et donc de y^k-1 jusqu'à y⁰=1 : ∑^k_n=1y^k-n 

Donc lorsque k=1,  il n'y a qu'un terme, y⁰. Lorsque k=2, la somme comprend 2 termes, y¹ et y⁰, soit y+1 

Merci je crois que j'ai compris cette partie là !

[C8H10N4O2]

Avec y=(x/a) et en multipliant par a^k, y^k-1 = (y-1)(y^k-1+y^k-2+y^k-3+...+y+1) devient : a^k((x/a)^k-1) = x^k - a^k = a^k((x/a)-1)((x/a)^k-1 + (x/a)^k-2 + (x/a)^k-3 +...+ (x/a) + 1)

Ce qui donne : x^k-a^k = ((x/a)-1)(a.x^k-1+a².x^k-2+a³.x^k-3+...+a^k-1.x+a^k) = (x-a)(x^k-1+a.x^k-2+a².x^k-3+...+a^k-2.x+a^k-1) 

Je crois avoir compris cette partie-ci mais d'où vient le fait de choisir y=(x/a) et de multiplier par a^k ?

[Invité]

il y a 5 minutes, C8H10N4O2 a dit :

Avec y=(x/a) et en multipliant par a^k, y^k-1 = (y-1)(y^k-1+y^k-2+y^k-3+...+y+1) devient : a^k((x/a)^k-1) = x^k - a^k = a^k((x/a)-1)((x/a)^k-1 + (x/a)^k-2 + (x/a)^k-3 +...+ (x/a) + 1)

Ce qui donne : x^k-a^k = ((x/a)-1)(a.x^k-1+a².x^k-2+a³.x^k-3+...+a^k-1.x+a^k) = (x-a)(x^k-1+a.x^k-2+a².x^k-3+...+a^k-2.x+a^k-1) 

Je crois avoir compris cette partie-ci mais d'où vient le fait de choisir y=(x/a) et de multiplier par a^k ?

C'est pour avoir le plaisir d'établir que

x^k-a^k =  (x-a)(x^k-1+a.x^k-2+a².x^k-3+...+a^k-2.x+a^k-1) 

Mais c'est beaucoup plus simple de commencer par montrer que

y^k-1 = (y-1)(y^k-1+y^k-2+y^k-3+...+y+1) puis de faire la transformation. Enfin, il me semble.

De plus cette dernière formule que j'ai mise en gras est à mémoriser . On l'utilise souvent en analyse.