dm

[Lauan19]

Au Vème siècle avant JC, le grec Zénon d’Elée (-490 ; -425) dit qu'un jour, le héros grec Achille a disputé une course à pied avec une tortue. Comme Achille était réputé être un coureur très rapide, il avait accordé gracieusement à la tortue une avance de cent mètres. Zénon explique qu'Achille ne peut jamais rattraper le lent reptile, quelle que soit sa vitesse car pendant qu'Achille court jusqu'au point d'où à démarré la tortue,c ette dernière avance, de telle sorte qu'Achille ne pourra jamais annuler l'avance de l'animal.

Pour simplifier, on suppose que la vitesse d'Achille est fixe et le double de celle de la tortue.

On appelle D_n,, la distance parcourue par Achille de son point de départ jusqu'à la position occupée par la tortue lors de l'étape précédente. On a donc d1 = 100m.

1) a) Calculer la distance parcourue après le 2e étape de sa course, puis après la 3e et la 4e étape.

b) Ecrire la relation de récurrence permettant de calculer les termes de d.

 

2) On veut Démontrer que pour tout entier n, on a : dn = 200 -

a) Sous cette hypothèse, calculer d1 et d(n+1)

b) En déduire dn+1-dn

c) Conclure

3)a) En déduire que pour tout entier n, dn est inférieur à un entier à déterminer..

b) Expliquer alors le paradoxe donné par Zénon

[Barbidoux]

1) a) Calculer la distance parcourue après le 2e étape de sa course, puis après la 3e et la 4e étape.

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d2=100+100/2=150

d3=100+100/2+100/4=175

d4=100+100/2+100/4+100/8=187.5

-----------------

b) Ecrire la relation de récurrence permettant de calculer les termes de d.

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d_n=100*(1+1/2+1/4+….1/2^(n-1))=100*somme de 1 à n de 1/(2^(n-1))=100*(1-1/2^(n))/(1-1/2)=200*(1-1/2^n)

----------------
d_n+1-d_n=200*(1-1/2^(n+1))-200*(1-1/2^n)=-1/2^(n+1)+2/2^^(n+1)=1/2^(n+1)

[Lauan19]

Pouvez vous faire le sujet entier c'est pour ma fille, elle ne comprend pas et je veux lui expliquer comment procéder svp

[Lauan19]

est-ce correct ?

dm maths.pdf

[pzorba75]

Les pièces jointes ne sont pas justifiées plus pour les réponses à donner que pour les sujets, il faut les taper au clavier pour qu'elle soient accessibles à tous et aux moteurs de recherche.

[volcano47]

je pense que barbidoux a oublié un terme (la longueur d1 =100 ) dans sa formule de récurrence.

En effet quand Achille se trouve en dn (en supposant qu'au départ il était en d0= 0 et la tortue en d1 =100), la tortue est en d2 (l'endroit qu'atteindra A à l'étape suivante pendant que la tortue aura avancé de la moitié du parcours de A puisque sa vitesse est moitié moins grande)

Quand Achille est en dn, la tortue est en d (n+1) (c'est un indice en fait)

bref,  dn =100 (1+ 1/2 +1/4 +.....+ 1/ 2^ (n-1) ) et d (n+1) -d n = 100 /2 ^n

l'intervalle entre les deux devient toujours plus petit mais n'est jamais nul.

1+ 1//2+.....+1/2^n est une suite géométrique de raison 1/2, de premier terme 1, sa somme vaut 2(1-(1/2)^n) (voir formule de la somme des termes d'une suite géométrique S = (1-q^n) / (1-q) si le premier terme est 1 et la raison q)

et  cette quantité est < 2 donc dn <200 pour tout n ; ou encore dn+1-dn >0 (ne peut s'annuler) ce qui signifie que:

une fois que A arrive en d1 =100 , au moment où la tortue démarre, selon le calcul il n'a pas la possibilité d'atteindre le point 200 ni d'ailleurs de rejoindre la tortue (tout en s'en approchant infiniment près). Or l'expérience montre qu' Achille rejoint et même dépasse la bête et c'est ça le paradoxe.

La solution  est que la somme 1+1/2+....tend bel et bien vers 2 , l'écart entre les deux tend bien vers 0 , (la suite 1/2 ^n tend vers 0 quand n tend vers l'infini) et que  les grecs  ne connaissaient pas le calcul avec les limites infinies et les en particulier les  séries géométriques.

 

 

 

[Barbidoux]

fautes de frappe il fallait lire

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d_n+1-d_n=200*(1-1/2^(n+1))-200*(1-1/2^n)=200*(-1/2^(n+1)+2/2^(n+1))=200/2^(n+1)

 

• erreur dans le document joint

 

[Lauan19]

Pouvez vous refaire le sujet entièrement avec les explications car je ne comprends plus et je vais avoir du mal à expliquer à ma fille